DIOPHANTINE EQUATIONS [phần 9]

Posted By: Võ Văn Rânon: March 15, 2010In: KINH TẾ-XÃ HỘI-KHOA HỌC1 Comment

Diophantine Equation mở rộng 4 ẩn số

Phần nầy tương đối khó, nhưng thời gian không cho phép ta kéo dài phần Phương trình Diophantus 3 ẩn số với 3 nhóm “a∙xⁿ + b∙yⁿ = c∙zⁿ” cuả phần 8, nhiều lần nửa. Ta sang phần Phương trình Diophantus 4 ẩn số, với 4 nhóm (4 term) có dạng tổng quát sau

a∙vⁿ + b∙xⁿ + c∙yⁿ = d∙zⁿ

Giải phương trình Diophantus có 4 ẩn số và 4 nhóm như: {a∙vⁿ}, {b∙xⁿ}, {c∙yⁿ }, {d∙zⁿ}, ta phải đưa phương trình Diophantus nầy về 3 nhóm cùng dạng với phương trình Fermat’s Last Theorem “ xⁿ + yⁿ = zⁿ” có 3 nhóm {xⁿ}, {yⁿ} và {zⁿ}.

Từ 3 nhóm nầy ta mới áp dụng được phương pháp tổng hợp, giửa Đông và Tây hay tổng hợp giửa Toán học Bình dân và Fermat’s Last Theorem sau đây

ζ(s) = aⁿ + bⁿ = 1

b = ⁿ√(1 – aⁿ)

ζ(s) = 1 và ζ(1) ≠ 0

0 < α < 1, n –> ∞

x = (a∙zⁿ√c) / (ⁿ√a)

y = b∙z

= [ⁿ√(1 – aⁿ) ∙zⁿ√c] / (ⁿ√b)

Lẻ ra phần lý thuyết phải được viết thật dài mới diễn tả đầy đủ cách xử dụng phương pháp tổng hợp, nhưng phần nầy xin dành lại cho quý vị có quan tâm đến toán học sau nầy, ở đây chúng ta chú trọng đến phần thực hành nhiều hơn, hy vọng các bạn trẻ sẽ thoải mái khi giải các phương trình Diophantus sau đây

Phần lý thuyết chỉ đơn giản vậy thôi

1*) Giải phương trình Diophantus sau:

a∙v⁸ + b∙x⁸ + c∙y⁸ = d∙z⁸

Tìm giá trị v, x, y, z nguyên

Cho biết z = 371 và gcd(v,x,y) = δ (δ > 1)

Giải

a· v⁸ + b· x⁸ + c· y⁸ = d· z⁸(1)

Phương trình Diophantus (1) nầy có 4 ẩn số tương đương 4 nhóm so với Fermat’s Last Theorem có 3 nhóm

Theo đề ta có gcd(v,x,y) = δ (δ > 1)

suy ra

v ≡ modδ

x ≡ modδ

y ≡ modδ

Thật ra ta không cần phải cho biết trước gcd(v,x,y) = δ (δ > 1), vì Định lý sau cùng cuả Fermat đã được chứng minh, thì v,x,y, của phương trình Diophantus muốn có nghiệm nguyên, phải chia đúng cho một số lớn hơn 1, nhưng sợ có nhiều bạn trẻ khó tính nên phải cho biết trước.

Nói tóm lại các bạn trẻ gặp phương trình Diophantus không nói đến “gcd” (greatest commom divisor) hoặc “gcf” (greatest commom factor) hay “hcf” (highest commom factor), ta cứ hiểu, muốn phương trình Diophantus có nghiệm nguyên, thì các ẩn số phải chia đúng cho một số lớn hơn 1,

Trở lại vấn đề thay thế các giá trị tương đương x, và y để viết phương trình Diophantus từ 4 nhóm về dạng 3 nhóm như sau

{a· v⁸ }+ {b· x⁸ }+ {c· y⁸ } = {d· z⁸}

{ a· v⁸ }+ {(b + c) · modδ⁸ } = {d· z⁸} (2)

Viết lại phương trình (2) dưới dạng tổng quát Fermat Equation

xⁿ + yⁿ = zⁿ

Đặt x = ⁸√a · v

y ≡ ⁸√(b + c) · modδ

z = ⁸√d · z

Phương Trình (2) viết lại

(⁸√a· v)⁸ + [⁸√(b+c)· modd]⁸ = (⁸√d· z)⁸(3)

Muốn giải phương trình Diophantus (3), ta phải viết đầy đủ phương trình (3) có nghĩa là ta đi tìm giá trị các cơ số a, b, c, d của phương trình Diophantus(3)

Bài toán chưa cho biết a nên ta phải tìm bất cứ giá trị nào của a ( e.g. a = 4/7) thích hợp cho phương trình vì z = 371

Theo phương pháp tổng hợp ta có

ζ(s) = aⁿ + bⁿ = 1

Suy ra β = ⁸√(1 – α⁸) = ⁸√{1 –(4/7)⁸}

β = ⁸√(5699265) / 7

Để dể tính ta chọn a = d = 1

ta chỉ cần tìm giá trị cuả b và c

Muốn tìm b, c ta dựa vào a và β = ⁸√(1 – a⁸)

a = 1

b = 5622777 = 3⁸ x 857

c = 76488

d = 1

Thay các giá trị a, b, c, và d vừa tìm vào phương trình Diophantus

v⁸ + [⁸√(5622777 + 76488)· modd]⁸ = z⁸(4)

Từ phương pháp tổng hợp :

ζ(s) = a⁸ + b⁸ = 1

b = ⁸√(1 – a⁸)

ζ(s) = 1 và ζ(1) ≠ 0

0 < α < 1

x = (a∙z⁸√c)/(⁸√a)

y = b∙z

= [⁸√(1 – a⁸) ∙z⁸√c]/(⁸√b)

Ta có

x = (a∙z⁸√c)/(⁸√a)

Thay thế

x = ⁸√a · v

a = 1

suy ra

v = (a∙z⁸√c)/(⁸√a)

v = (4/7)∙371 = 212

v = 212

y ≡ ⁸√(b + c) · modδ

y = b∙z = [⁸√(1 – a⁸) ∙z⁸√c]/(⁸√b)

⁸√(b + c) · modδ ≡ ⁸√(5622777 + 76488)· modd

hay modδ ≡ b∙z = [⁸√(1 – a⁸) ∙z⁸√c]/(⁸√b) ≡ mod53

Ta có

b = 857

x ≡ modδ ≡ mod53 suy ra

x = 159

và

c = 76488

y ≡ modδ ≡ mod53

suy ra

y = 53

Thay các giá tri v, x, y, vào phương trình Diophantus (1) thử lại

a· v⁸ + b· x⁸ + c· y⁸ = d· z⁸

v⁸ + 857· x⁸ + 76488· y⁸ = z⁸

212⁸ + 857· 159⁸ + 76488· 53⁸ = 371⁸= 358914725543104304161

Các giá trị của v, x, y, thoả mản (1)

Đáp số:

a = 1

b = 857

c = 76488

d = 1

v = 212,

x = 159,

y = 53

z = 371

2*) Giải phương trình Diophantus có dạng sau:

a∙v¹¹ + b∙x¹¹ + c∙y¹¹ = d∙365¹¹

Tìm giá trị v, x, y, nguyên

Cho biết α = 0.6

Giải

Tương tự như trên

a∙v¹¹ + b∙x¹¹ + c∙y¹¹ = d∙365¹¹ (1)

Phương trình Diophantus (1) có 3 ẩn số v, x, y tương đương 4 nhóm:

{a∙v¹¹}, {b∙x¹¹},{c∙y¹¹}, {d∙365¹¹

Theo Phương pháp bình dân các giá trị cuả v, x, y phải có gcd(v,x,y) = δ (δ > 1)

Ta viết lại

v ≡ modδ

x ≡ modδ

y ≡ modδ

Thay thế các giá trị tương đương v, và x ta viết phương trình Diophantus từ 4 nhóm còn lại 3 nhóm như sau

a· v¹¹ + b· x¹¹ + c· y¹¹ = d· z¹¹

(a + b) · mod δ¹¹ + c· y¹¹ = d· z¹¹(2)

Viết lại phương trình (2) dưới dạng Fermat Equation

xⁿ + yⁿ = zⁿ

Đặt x ≡ ¹¹√(a + b) · modδ¹¹

y = ¹¹√ c· y¹¹

z = ¹¹√d · z

Phương Trình (2) viết lại

{ ¹¹√ (a + b) · modδ}¹¹ + (¹¹√c· y)¹¹ = (¹¹√d· z)¹¹ (3)

Chúng ta tìm giá trị các cơ số a, b, c, d của phương trình

Ta có

ζ(s) = a¹¹ + b¹¹ = 1

Suy ra β = ¹¹√(1 – α¹¹) = ¹¹√{1 –(3/5)¹¹}

β = ¹¹√(48650978) / 5

Tìm giá trị các cơ số a, b, c, d cuả phương trình, hay nói cách khác là viết phương trình Diophantus sang dạng Fermat Equation

Để dể tính toán ta chọn giá trị c = 3¹¹, d = 2¹¹ ta chỉ cần tìm giá trị cuả a và b

Muốn tìm a, b ta cũng dựa vào giá trị cuả a và β = ¹¹√(1 – a¹¹)

a = 883426

b’ = 47767552 = 2¹¹ x 23324

c = 3¹¹

d = 2¹¹

Thay các giá trị vừa vào phương trình Diophantus ta có

{ ¹¹√ (a + b) · modδ}¹¹ + (¹¹√c· y)¹¹ = (¹¹√d· z)¹¹

{ ¹¹√ (883426 + 47767552) · modδ}¹¹ + (3· y)¹¹ = (2· z)¹¹ (4)

Áp dụng Phương pháp tổng hợp giải phương trình (4) ta có

ζ(s) = a¹¹ + b¹¹ = 1

b = ¹¹√(1 – a¹¹)

ζ(s) = 1 và ζ(1) ≠ 0

0 < α < 1

x = (a∙z¹¹√c)/(¹¹√a)

y = b∙z

= [¹¹√(1 – a⁸) ∙z¹¹√c]/(¹¹√b)

Ta có

x = (a∙z¹¹√c)/(¹¹√a)

Thay thế

x = ¹¹√(a + b) · modδ¹¹≡¹¹√ (883426 + 47767552) · modδ

hay modδ ≡ (a∙z¹¹√c)/(¹¹√a) ≡ mod73

Ta có

a = 883426

v ≡ modδ ≡ mod73 Suy ra

v = 73

b’ = 47767552 = 2¹¹ x 23324

x ≡ modδ ≡ mod73 suy ra

x = 146

Giá trị thực tại cuả b = 23324

y = b∙z = [¹¹√(1 – a⁸) ∙z¹¹√c]/(¹¹√b)

y = 73

Thay các giá tri cuả cơ số, và các ẩn số mới tìm v, x, y, z vào phương trình Diophantus (1)

thử lại

a∙v¹¹ + b∙x¹¹ + c∙y¹¹ = d∙365¹¹ (1)

883426∙146¹¹ + 23324∙292¹¹ + 177147∙146¹¹ = 2048∙365¹¹

= 31372668556835970837700000000000

Các giá tri cuả cơ số, và các ẩn số mới tìm đúng là nghiệm ta muốn tìm

Đáp số:

a = 883426

b = 23324

c = 177147

d = 2048

v = 146,

x = 292,

y = 146

z = 365

Trong phần giải các phương trình Diophantus ở trên có đôi chổ hơi tối nghĩa, đó chính là nơi để các bạn trẻ them phần lý giải cuả mình sao cho hợp lý, còn đối với sinh viên nước ngoài tôi chỉ nói áp dưng phương pháp … và cho ra đáp số ngay, chứ không giải thích nhiều, tương tự như các nhà toán học họ chỉ đưa ra đáp số, chứ không giải thích làm cách nào để có đáp số

Các bạn thử áp dụng phương pháp tổng hợp giải các phương trình Diophantus sau

Bài tập

4*) Viết phương trình Diophantus sau:

a∙v² + b∙x² + c∙y² = d∙z²

Tìm giá trị v, x, y nguyên

Cho biết z = 31

5*) Viết phương trình Diophantus sau:

a∙v³ + b∙x³ + c∙y³ = d∙z³

Tìm giá trị v, x, y, z nguyên

Cho biết α = 0.8

6*) Viết phương trình Diophantus sau:

a∙v⁴ + b∙x⁴ + c∙y⁴ = d∙z⁴

Tìm giá trị v, x, y, z nguyên

Cho biết α = 0.6

7*) Viết phương trình Diophantus sau:

a∙v⁶ + b∙x⁶ + c∙y⁶ = d∙z⁶

Tìm giá trị v, x, y, nguyên

Cho biết z = 351

8*) Viết phương trình Diophantus sau:

a∙v⁷ + b∙x⁷ + c∙y⁷ = d∙z⁷

Tìm giá trị v, x, y, z nguyên

Cho biết gcd(v,x,y) = δ (δ > 1)

9*) Viết phương trình Diophantus sau:

a∙v⁸ + b∙x⁸ + c∙y⁸ = z⁹

Tìm giá trị v, x, y, z nguyên

10*) Viết phương trình Diophantus sau:

a∙v⁹ + b∙x⁹ + c∙y⁹ = z¹⁰

Tìm giá trị v, x, y, z nguyên

TRANG GIẢI TRÍ MA TRẬN

Thời học trò, thầy cô giáo có chỉ sơ qua cách tìm ma trận 3 x 3 hay n = 3, rất thích thú nhưng chỉ biết có vậy thôi! còn với các ma trận lớn hơn n > 3 chưa bao giờ biết đến. Sau khi định cư tại Hoa kỳ có điều kiện, đọc nhiều liệu về toán, song chưa đầy đủ, xin trình bày để quý vị và các bạn trẻ cùng tìm hiểu, giải trí cho vui, dĩ nhiên có nhiều cách viết:

PHƯƠNG PHÁP tìm MA TRẬN LẺ

Tổng số ngang, dọc và chéo của ma trận lẻ như 3, 5, 7 …(2k+1) được viết theo phương pháp sau đây, có thể nói khi vẻ xong hình ma trận và phần phụ, ta cứ thế mà viết, không cần suy nghỉ, không cần tính toán

MA TRẬN (3 x 3) hay n = 3

Trước tiên ta vẻ 9 ô chính, xong ta vẻ 3 ô phụ ở trên và 3 ô phụ bên phải

số 1 được viết ô giữa trên cùng. Số 2 chéo lên phải nằm ở ô phụ, ta phải chuyển xuống ô chính, cùng hàng, dưới cùng. tiếp tục