DIOPHANTINE EQUATIONS [Phần 11]

Posted By: Võ Văn Rânon: June 17, 2010In: KINH TẾ-XÃ HỘI-KHOA HỌCNo Comments

LÝ THUYẾT

Giả sử ta có phương trình Diophantus (n,k,1) có dạng tổng hợp, dài lê thê, phức tạp, số mủ n lớn hơn 2, có dạng tổng quát sau đây, có lẻ không có hệ thống điện toán tối tân nào, dù ráp nối với nhau có thể giải được

a∙Aⁿ+ Bⁿ+ Cⁿ + d∙Dⁿ+ Eⁿ+ Fⁿ + g∙Gⁿ+ Hⁿ+ Iⁿ + j∙Jⁿ+ Kⁿ+ Lⁿ + m∙Mⁿ+ Nⁿ+ Oⁿ + p∙Pⁿ+ Qⁿ+ Rⁿ + s∙Sⁿ+ t∙Tⁿ+ Uⁿ+ Vⁿ + x∙Xⁿ+ Yⁿ = z∙Zⁿ (1)

Phần lý thuyết tương tự như các phần trước đây. Phương trình Diophantus có dạng hơi phức tạp trên, có nhiều ẩn số có kèm theo hệ số góc, như {a∙Aⁿ}, {d∙Dⁿ}, {g∙Gⁿ}, {j∙Jⁿ}, {m∙Mⁿ} … còn các ân số khác chỉ đơn giản không có hệ số gốc như {Bⁿ}, {Cⁿ}, {Eⁿ}, …. ta gôm tất cả các ẩn số có mang hệ số góc về một nhóm, và các ẩn số đơn giản không có hệ số góc về một nhóm, mục đính để ta viết sang dạng Fermat-Wiles Equation mở rộng

Lẻ ra chúng ta nên dừng lại ở phương trình Diophantus có dạng đơn giản

a∙Aⁿ + b∙Bⁿ = c∙Cⁿ

Vì hiện nay các nhà Toán học chưa tìm ra phương pháp nào để vượt qua các phương trình Diophantus đơn giản có 3 nhóm như

“Generalized Fermat-Wiles equation xⁿ + yⁿ = c∙zⁿ

The Diophantine equation a · x³ + b · y³ + c · z³ = 0

The diophantine equation A · x⁴ + B · y⁴ + C · z⁴ = 0 ”

Nhưng chúng ta tiếp tục phương trình Diophantus (n,k,1) có dạng

a∙Aⁿ+ Bⁿ+ Cⁿ + d∙Dⁿ+ Eⁿ+ Fⁿ + g∙Gⁿ+ Hⁿ+ Iⁿ + j∙Jⁿ+ Kⁿ+ Lⁿ + m∙Mⁿ+ Nⁿ+ Oⁿ + p∙Pⁿ+ Qⁿ+ Rⁿ + s∙Sⁿ+ t∙Tⁿ+ Uⁿ+ Vⁿ + x∙Xⁿ+ Yⁿ = z∙Zⁿ

Để quý độc giả và quý bạn trẻ thấy rằng phương pháp bình dân không dừng lại ở những phương trình đơn giản chỉ có 3 ẩn số, mà các phương trình Diophantus có thể đến hàng chục ẩn số vẫn giải được

Muốn giải ta cũng dùng phương pháp bình dân R & S mở rộng,

ζ(s) = … rⁿ + sⁿ + … = k

r = ⁿ√( k – sⁿ– …)

ζ(k) = 0

n à ∞

….

x = r∙z

y = s∙z

Cho Fermat-Wiles Equation mở rộng có nhiều ẩn số hay nhiều nhóm

…+ xⁿ + yⁿ = c·zⁿ

Ta áp dụng các phương pháp trên để giải các phương trình Diophantus phức tạp sau đây

ỨNG DỤNG

1*) Giải phương trình Diophantus tìm giá trị cuả 25 ẩn số và 13 cơ số có dạng sau:

a∙A⁴+ B⁴+ C⁴ + d∙D⁴+ E⁴+ F⁴ + g∙G⁴+ H⁴+ I⁴ + j∙J⁴+ K⁴+ L⁴ + m∙M⁴+ N⁴+ O⁴ + p∙P⁴+ q∙Q⁴+ r∙R⁴ + s∙S⁴+ t∙T⁴+ u∙U⁴+ v∙V⁴ + X⁴+ Y⁴ = z∙Z⁴(1)

Tìm giá trị A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, R, S, T, U, V, X, Y, Z nguyên

Giải

Ta gôm tất cả các ẩn số có mang hệ số góc về một nhóm, và các ẩn số đơn giản không có hệ số góc về một nhóm

(a∙A⁴)+(d∙D⁴)+(g∙G⁴)+(j∙J⁴)+(m∙M⁴)+(p∙P⁴) + (q∙Q⁴)+ (r∙R⁴) + (s∙S⁴)+ (t∙T⁴) + (u∙U⁴)+ (v∙V⁴)+ B⁴+ C⁴+ E⁴+ F⁴+ H⁴ + I⁴+ K⁴ + L⁴+ N⁴+ O⁴+ X⁴+ Y⁴ = z∙Z⁴(2)

Phương trình Diophantus (2) được viết gọn lại bằng cách đặt

A ≡ modδ₁Q ≡ modδ₃

D ≡ modδ₁R ≡ modδ₃

G ≡ modδ₁S ≡ modδ₃

J ≡ modδ₂

T ≡ modδ₄

U ≡ modδ₄

M ≡ modδ₂ V ≡ modδ₄

P ≡ modδ₂

(δ₁, δ_2, δ_3,δ_4,thuộc δ)

Thay các giá trị tương đương cuả A, D, G, J, M, P, Q, R, S, T, U, V vào phương trình Diophantus (2)

(a∙A⁴)+(d∙D⁴)+(g∙G⁴)+(j∙J⁴)+(m∙M⁴)+(p∙P⁴) + (q∙Q⁴)+ (r∙R⁴)+ (s∙S⁴)+ (t∙T⁴) + (u∙U⁴)+ (v∙V⁴)+ B⁴+ C⁴+ E⁴+ F⁴+ H⁴ + I⁴+ K⁴ + L⁴+ N⁴+ O⁴+ X⁴+ Y⁴ = z∙Z⁴(2)

Ta có

{⁴√(a + d+ g)∙ modδ₁}⁴+ {⁴√(j + m + p)∙ modδ₂}⁴+ {⁴√(q+ r + s)∙ modδ₃}⁴+

{⁴√(t + u + v)∙modδ₄}⁴+B⁴+ C⁴+ E⁴+ F⁴+ H⁴ + I⁴+K⁴ + L⁴+N⁴+ O⁴+ X⁴+ Y⁴ = z∙Z⁴(3)

Phương trình Diophantus (3) tương đương với Fermat-Wiles Equation mở rông

iⁿ+ jⁿ+ kⁿ + lⁿ + mⁿ + nⁿ + oⁿ + pⁿ + qⁿ + rⁿ + sⁿ + tⁿ+ uⁿ + vⁿ + xⁿ + yⁿ = c·zⁿ

Suy ra

i ≡ {⁴√(a + d+ g)∙ modδ₁}

j ≡ {⁴√(j + m + p)∙ modδ₂}

k ≡ {⁴√(q+ r + s)∙ modδ₃}

l ≡ {⁴√(t + u + v)∙ modδ₄}

và những ẩn số còn lại

m = B

n = C

o = E

p = F

q = H

r = I

s = K

t = L

u = N

v = O

x = X

y = Y

z = Z

c = z

Áp dụng phương pháp bình dân mở rộng

ζ(s) = … rⁿ + sⁿ + … = k

r = ⁿ√( k – sⁿ– …)

ζ(k) = 0

n = 5

….

x = r∙z

y = s∙z

Muốn có giá trị cuả i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, x, y ta phải tìm giá trị cuả … r, s, …

Theo phương pháp bình dân

ζ(s) = … rⁿ + sⁿ + ….= k

và ζ(k) = 0

Ta chọn bất kỳ giá trị nào cuả … r, s, … (e.g. 9, 6, 7, 2/15, 5, 4, 2, 8, 2/15, 4/15, 1/3, 2/5, 2/3, 14/15, 11, 3) thay vào Zeta (s) ta có

ζ(s) = …+ r⁴ + s⁴ + … = k

ζ(s) = 29974

Ta chọn bất kỳ giá trị nào cuả Z (e.g. Z = 105, Z ≡ mod15)

Các giá trị của i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, x, y tinh theo z = Z = 105 phương pháp sau

i ≡ {⁴√(a + d+ g)∙ modδ₁} ≡ i· z

j ≡ {⁴√(j + m + p)∙ modδ₂} ≡ j· z

k ≡ {⁴√(q+ r + s)∙ modδ₃}⁴≡ k· z

l ≡ {⁴√(t + u + v)∙ modδ₄} ≡ l· z

Thay các giá trị ta có

i ≡ {⁴√(a + d+ g)∙ modδ₁} ≡ i· z

i ≡ 9∙105 ≡ mod 945

j ≡ {⁴√(j + m + p)∙ modδ₂} ≡ j· z

j ≡ 6∙105 ≡ mod630

k ≡ {⁴√(q+ r + s)∙ modδ₃}≡ k· z

k ≡ 7∙ 105 ≡ mod735

l ≡ {⁴√(t + u + v)∙ modδ₄} ≡ l· z

l ≡ (2/15)∙105 ≡ mod14

Trở lại với phương trình Diophantus (3)

{⁴√(a + d+ g)∙ modδ₁}⁴+ {⁴√(j + m + p)∙ modδ₂}⁴+ {⁴√(q+ r + s)∙ modδ₃}⁴+

{⁴√(t + u + v)∙ modδ₄}⁴+ B⁴+ C⁴+ E⁴+ F⁴+ H⁴ + I⁴+ K⁴ + L⁴+ N⁴+ O⁴+ X⁴+ Y⁴ = z∙Z⁴(3)

i ≡ {⁴√(a + d+ g)∙ modδ₁} ≡ mod 945

A ≡ a∙ modδ₁≡a∙ mod 945

Suy ra

a = 1583

A = 21

D ≡ d∙modδ₁≡d ∙mod 945

Suy ra

d = 17

D = 273

G ≡ g∙modδ₁≡g ∙mod 945

Suy ra

g = 1505

G = 147

j ≡ {⁴√(j + m + p)∙ modδ₂} ≡ mod 360

J ≡ j∙ modδ₂≡j∙ mod 360

Suy ra

j = 19

J = 40

M ≡ m∙modδ₂≡m ∙mod 360

Suy ra

m = 11

M = 160

P ≡ p∙modδ₂≡p ∙mod 360

Suy ra

p = 46

P = 120

k ≡ {⁴√(q+ r + s)∙ modδ₃}≡ mod 735

Q ≡ q∙ modδ₃≡q∙ mod 735

Suy ra

q = 1941

Q = 35

R ≡ r∙modδ₃≡r ∙mod 735

Suy ra

r = 13

R = 210

S ≡ s∙modδ₃≡s ∙mod 735

Suy ra

s = 12

S = 385

l ≡ {⁴√(t + u + v)∙ modδ₄} ≡ mod 14

T ≡ t∙ modδ₄≡t∙ mod 14

Suy ra

t = 985

T = 2

U ≡ u∙modδ₄≡u ∙mod 14

Suy ra

u = 8

U = 6

V ≡ v∙modδ₄≡v ∙mod 14

Suy ra

v = 3

V = 8

Và giá trị khác cuả phương trình Diophantus (3)

{⁴√(a + d+ g)∙ modδ₁}⁴+ {⁴√(j + m + p)∙ modδ₂}⁴+ {⁴√(q+ r + s)∙ modδ₃}⁴+

{⁴√(t + u + v)∙ modδ₄}⁴+ B⁴+ C⁴+ E⁴+ F⁴+ H⁴ + I⁴+ K⁴ + L⁴+ N⁴+ O⁴+ X⁴+ Y⁴ = z∙Z⁴(3)

m = B = m· z suy ra

B = 5·105 = 525

n = C = n· z suy ra

C = 4·105 = 420

o = E = o· z suy ra

E = 2·105 = 210

p = F = p· z suy ra

F = 8·105 = 840

q = H = q· z suy ra

H = (2/15)·105 = 14

r = I = r· z suy ra

I = (4/15) ·105 = 28

s = K = s· z suy ra

K = (1/3) ·105 = 35

t = F = t· z suy ra

L = (2/5)·105 = 42

u = N = u· z suy ra

N = (2/3)·105 = 70

v = O = v· z suy ra

O = (14/15) ·105 = 98

x = X = x· z suy ra

X = 11 ·105 = 1155

y = Y = y· z suy ra

Y = 3 ·105 = 315

Thay các giá trị vừa tìm vào phương trình Diophantus (1) thử lại

a∙A⁴+ B⁴+ C⁴ + d∙D⁴+ E⁴+ F⁴ + g∙G⁴+ H⁴+ I⁴ + j∙J⁴+ K⁴+ L⁴ + m∙M⁴+ N⁴+ O⁴ + p∙P⁴+ q∙Q⁴+ r∙R⁴ + s∙S⁴+ t∙T⁴+ u∙U⁴+ v∙V⁴ + X⁴+ Y⁴ = z∙Z⁴ (1)

1583∙21⁴+ 525⁴+ 420⁴ + 17∙273⁴+ 210⁴+ 840⁴ + 1505∙147⁴+ 14⁴+ 28⁴ + 19∙40⁴+

35⁴+ 42⁴ + 11∙160⁴+ 70⁴+ 98⁴ + 46∙120⁴+ 1941∙35⁴+ 13∙210⁴ + 12∙385⁴+ 985∙2⁴+

8∙6⁴+ 3∙8⁴ + 1155⁴+ 315⁴ = 29974∙105⁴

(1)

Vế trái cuả phương trình

1583∙21⁴+ 525⁴+ 420⁴ + 17∙273⁴+ 210⁴+ 840⁴ + 1505∙147⁴+ 14⁴+ 28⁴ + 19∙40⁴+ 35⁴+ 42⁴ + 11∙160⁴+ 70⁴+ 98⁴ + 46∙120⁴+ 1941∙35⁴+ 13∙210⁴ + 12∙385⁴+ 985∙2⁴+ 8∙6⁴+ 3∙8⁴ + 1155⁴+ 315⁴ = 3643358433750

vế phải phương trình

29974∙105⁴ = 3643358433750

Các giá trị vừa tìm đúng là nghiệm cuả phương trình Diophantus

1583∙A⁴+ B⁴+ C⁴ + 17∙D⁴+ E⁴+ F⁴ + 1505∙G⁴+ H⁴+ I⁴ + 19∙J⁴+ K⁴+ L⁴ + 11∙M⁴+ N⁴+ O⁴ + 46∙P⁴+ 1941∙Q⁴+ 13∙R⁴ + 12∙S⁴+ 985∙T⁴+ 8∙U⁴+ 3∙V⁴ + X⁴+ Y⁴ = z∙Z⁴ (1)

Đáp số:

A = 21 B = 525 C = 420

D = 273 E = 210 F = 840

G = 147 H = 14 I = 28

J = 40 K = 35 L = 42

M = 160 N = 70 O = 98

P = 120 Q = 35 R = 210

S = 385 T = 2 U = 6

V = 8 X = 1155 Y = 315

BÀI TẬP

2*) Giải phương trình Diophantus còn gọi là phương trình Siêu Việt có dạng sau:

a∙A⁵+ B⁵+ C⁵ + d∙D⁵+ E⁵+ F⁵ + g∙G⁵+ H⁵+ I⁵ + j∙J⁵+ K⁵+ l∙L⁵ + m∙M⁵+ N⁵+ O⁵ + p∙P⁵+ q∙Q⁵+ r∙R⁵ + s∙S⁵+ t∙T⁵+ u∙U⁵+ v∙V⁵ + X⁵+ Y⁵ = z∙Z⁵

3*) Giải phương trình Diophantus có dạng sau:

a∙A⁴+ B⁴+ C⁴ + d∙D⁴+ E⁴+ F⁴ + g∙G⁴+ H⁴+ I⁴ + j∙J⁴+ K⁴+ L⁴ + m∙M⁴+ N⁴+ O⁴ + p∙P⁴+ q∙Q⁴+ r∙R⁴ + s∙S⁴+ t∙T⁴+ u∙U⁴+ v∙V⁴ + X⁴+ y∙Y⁴ = 50710⁵

4*) Giải phương trình Diophantus có dạng sau:

a∙A⁷+ b∙B⁷+ c∙C⁷ + d∙D⁷+ e∙E⁷+ F⁷ + g∙G⁷+ H⁷+ I⁷ + j∙J⁷+ K⁷+ L⁷ + m∙M⁷+ N⁷+ O⁷ + p∙P⁷+ q∙Q⁷+ r∙R⁷ + s∙S⁷+ t∙T⁷+ u∙U⁷+ v∙V⁷ + X⁷+ Y⁷ = z∙Z⁷

5*) Giải phương trình Diophantus có dạng sau:

a∙A⁸+ b∙B⁸+ c∙C⁸ + d∙D⁸+ e∙E⁸+ F⁸ + g∙G⁸+ h∙H⁸+ i∙I⁸ + j∙J⁸+ k∙K⁸+ L⁸ + m∙M⁸+ N⁸+ O⁸ + p∙P⁸+ q∙Q⁸+ r∙R⁸ + s∙S⁸+ t∙T⁸+ u∙U⁸+ v∙V⁸ + X⁸+ Y⁸ = Z⁹

6*) Giải phương trình Diophantus tìm giá trị 33 ẩn số và 23 cơ số (tổng cộng 56) có

dạng sau:

a₁∙A₁¹¹+ a₂∙A₂¹¹+ a₃∙A₃¹¹ + a₄∙A₄¹¹+ a₅∙A₅¹¹+ b∙B¹¹+ c∙C¹¹ + d∙D¹¹+ e∙E¹¹+ F¹¹ + g∙G¹¹+ H¹¹+ I¹¹ + j∙J¹¹+ K¹¹+ L¹¹ + m∙M¹¹+ N¹¹+ O¹¹ + p∙P¹¹+ q∙Q¹¹+ r∙R¹¹ + s∙S¹¹+ t∙T¹¹+ u₁∙U₁¹¹+ u₂∙U₂¹¹+ u₃∙U₃¹¹+ v₁∙V₁¹¹ + v₂∙V₂¹¹+ v₃∙V₃¹¹ + X¹¹+ Y¹¹ = Z¹²

KẾT LUẬN

Kính thưa quý độc giả và các bạn trẻ

Giả sử chúng ta có cơ may biết được các phương pháp về Toán Học Bình Dân thuộc nền Văn Minh Lúa Nước, mà không chia sẻ cho những người khác cùng biết, thì sự hiểu biết đó không ích lợi gì cả, chẳng qua là để thỏa mãn cá tính, hoặc đề cao chủ nghĩa cá nhân, nói đến cá nhân thì đáng ghét thật.

Giả sử chúng ta có cơ may biết được 10 phần, mà nói cả 10 phần, như ông bà ta thường nói “ruột để ngoài da” nếu có ai đó hỏi ta, ngoài 10 phần đó, chắc chắn ta không biết, kể như ta không biết gì cả.

Giả sử chúng ta có cơ may biết được 10 phần, mà nói tới 11 phần, tức là nói dóc, hay nỗ chỉ làm trò hề cho người khác cười thôi, xin miễn bàn.

Từ những lý do trên, chúng ta nên dừng lại ở đây, vì những bài tiếp theo vô cùng khó khăn, qua những bài tôi đã trình bày trên khao học và đời sống, có gì không đúng, không ổn kính mong quý vị tha thứ cho, vì trình độ cuả tôi có giới hạn, cũng qua các bài viết trên chỉ mong rằng quý vị và các bạn trẻ có khái niệm về Toán Học Bình Dân thuộc nền Văn Minh Lúa Nước, không thua kém Toán Học Phương Tây, nếu quý vị và các bạn muốn tìm hiểu thêm về Toán Học Bình Dân, tôi đã viết xong 4 quyển, kể cả quyển “TOÁN HỌC XƯA và NAY” đã được anh PT giới thiệu trên khoahoc.net nhưng chưa để địa chỉ liên lạc cũng như giá bán sách, không phải tôi quên, mà chỉ chờ cơ hội để được xuất bản tại VN, xem như món quà mọn cho Quê hương, sau nhiều năm tha phương cầu thực.… kính mong sự chiếu cố cuả quý vị và các bạn trẻ trong tương lai.

Tôi vô cùng cảm tạ anh Chủ bút Phương Tôn, và BBT đã cho tôi cơ hội được trình bày trên khoa học và đời sống

Kính đa tạ

Võ Văn Rân
[nguồn khoahoc.net]

Tags: Diophantine Equations