Generalized Fermat-Wiles Equation

Posted By: Võ Văn Rânon: April 06, 2010In: KINH TẾ-XÃ HỘI-KHOA HỌCNo Comments

Phương Trình bậc 2

Generalized Fermat-Wiles Equation có dạng tổng quát xⁿ + yⁿ = c·zⁿ là trường hợp đặc biệt của Diophantine Equations, nên các bạn trẻ muốn gọi phương trình trên là “Fermat-Wiles Equation” hay “Diophantine Equations” nói thế nào cũng đúng cả.

Generalized Fermat-Wiles Equation là thách thức lớn đối với Cộng Đồng Toán Học hiện nay, phương trình được mang tên 2 nhà toán học nổi tiếng nhất thế kỷ XVII là Pierre de Fermat và Giáo sư Andrew Wiles là người đầu tiên giải được Fermat’s Last Theorem năm 1995.

Generalized Fermat-Wiles Equation có dạng

x² + y² = c · z²

Phương trình bậc 2 có 3 ẩn số nên rất khó, chưa có phương pháp nào để giải, các nhà Toán học đang tìm các giá trị cuả c ở mỗi thời điểm n như 2, 3, 4, 5 …. Ngoài tầm hiểu biết của chúng ta, nên chờ các nhà Toán học giải đáp, hoặc tìm ra phương pháp chung, để chúng ta cùng học hỏi, xin trích một đoạn trong GENERALIZED FERMAT-WILES EQUATION để quý độc giả và các bạn trẻ, thấy đây là những vấn đề lớn, khó thật, chứ không phải tôi tự ý đưa ra, rồi tô phết cho quan trọng, như các cụ ta thường nói “thừa giấy vẻ voi!”

The infinite sequence of all such integers c can be shown to be highly sparse relative to the sequence of positive integers. By the density δ(N) of the c-sequence in the interval [1, N], we mean the cardinality of c-values not exceeding N, divided by N. It can be proved that

and, more precisely,

where K = 0.764223653… is known as the Click here for more terms.Landau-Ramanujan constant.

Let B(x) denote the number of positive integers not exceeding x which can be expressed as a sum of two squares. E. Landau and S. Ramanujan independently proved that:

where K is given by:

Product taken over all primes congruent to 3 modulo 4

Landau further proved that

where C is the constant

L = 2.622057554… is the Gauss’ lemniscate constant.

is the Gauss’ lemniscate constant.Euler’s constant.

D. Shanks computed C=0.581948659… to 10 digits. See the references for improvements.”

(See Hardy and Wright’s[1] discussion of Waring’s problem for a proof.) Here are the first several values of c for which this condition holds:

“1, 2, 4, 10, 13, 17, 26, 29, 34, 37, 41, 53, 58, 61, 65, 73, 74, 82, 85, 89, 97, 101, 106, 109, 113, 122, 130, 137, 145, 146, 149, 157, 170, 173, 178, 181, 185, 193, 194, 197, 202, 205, 218, 221, 226, 229, 233, 241, 257, 265, 269, 274, 277, 281, 290, 293, 298, 305, 313, 314, 317, 337, 346, 349, 353, 362, 365, 370, 373, 377, 386, 389, 394, 397, 401, 409, 410, 421, 433, 442, 445, 449, 457, 458, 461, 466, 481, 482, 485, …”

Phương pháp cuả các nhà toán học Phương Tây Landau Ramajujan, Gauss, Euler … xem ra quá khó, trình độ bình dân như chúng ta không dể gì học thuộc lòng và ứng dụng để tìm các giá trị cuả c, với n tiến đến vô cực, do đó chúng ta trở về với phương pháp bình dân

Tìm c theo phương pháp bình dân

Với phương pháp bình dân, hy vọng quý độc giả chỉ mất 10 đến 15 phút, có độc giả nào khó tính thì vài chục phút là cùng. Phương pháp tìm c mà tôi sắp trình bày, có tính cách gia đình, để quý vị dể nhớ, xin phép quý vị miễn chấp cho, thật sự tôi không nói thì quý vị không ai để ý

Gia đình Rân có vợ là Sen và Con cái như những gia đình khác, phương pháp rất đơn giản bằng cách viết những chử đầu in đậm “rân, sen, con” xin Quý vị chụp cho cái mũ, n lên r & s , còn con cái vô tội xin đừng chụp mũ tội nghiệp nó, thế là xong ngay, như sau

rⁿ + sⁿ = c

Có nhiều vị thắc mắc, cái gì lạ vây?, để làm gì ? có chứng minh không ? v.v. …

Xin thưa có:

Giả sử ta tìm được giá trị cuả x, y, z nghiệm đúng phương trình

xⁿ + yⁿ = c · zⁿ

Ta chia 2 vế cuả phương trình cho zⁿ (z khác 0)

xⁿ/zⁿ + yⁿ/zⁿ = c

(x/z)ⁿ + (y/z)ⁿ = c

Thay thế: r = x/z và s = y/z

rⁿ + sⁿ = c

Ta gọi phương pháp trên là bình dân vì nó xuất phát từ giới bình dân, tay lấm chân bùn, phương pháp “rⁿ + sⁿ = c” tìm mọi giá trị cuả c khi n tiến đến vô cực còn để giải Generalized Fermat-wiles Equation và nhiều Diophantine Equations sau nầy, nếu các nhà Toán học chưa tìm ra phương pháp để thay thế. r,s là các số nguyên, hoặc hữu tỷ; c là số nguyên; n theo bậc cuả phương trình

Phương pháp của các nhà Toán học ở trên, vô cùng khó đối với chúng ta, nhìn vào bảng giá trị của c, đúng, sai hay thừa thiếu thế nào, ta hoàn toàn không biết, vì muốn biết thì phải thay giá trị của c, để tìm các giá trị x, y, z có dúng là nguyên hay không, nhưng chưa có phương pháp nào để giải phương trinh bậc hai (x² + y² = cz²) chứa 3 ẩn số x, y, z, các nhà Toán học cho ta biết đến đâu, thì ta biết đến đấy thôi.

“1, 2, 4, 10, 13, 17, 26, 29, 34, 37, 41, 53, 58, 61, 65, 73, 74, 82, 85, 89, 97, 101, 106, 109, 113, 122, 130, 137, 145, 146, 149, 157, 170, 173, 178, 181, 185, 193, 194, 197, 202, 205, 218, 221, 226, 229, 233, 241, 257, 265, 269, 274, 277, 281, 290, 293, 298, 305, 313, 314, 317, 337, 346, 349, 353, 362, 365, 370, 373, 377, 386, 389, 394, 397, 401, 409, 410, 421, 433, 442, 445, 449, 457, 458, 461, 466, 481, 482, 485, …”

Ta thử dùng phương pháp bình dân trên, tìm lại các giá trị c (n = 2) trong bảng giá trị Hardy và Wright lấy từ internet, có gặp khó khăn nào không?

r² + s² = c

0.6² + 0.8²= 1

1² + 1² = 1.4² + 0.2² = 2

1.6² + 1.2² = 4 = (24/13)² + (10/13)² = (48/25)² + (14/25)²

1² + 2² = 2.2² + 0.4² = 5

2.8² + 0.4² = 2² + 2² = 8

1.8² + 2.4² = 9 = (120/41)² + (27/41)²= (180/61)² + (33/61)²

1² + 3² = 1.8² + 2.6² = 10

1.2² + 3.4² = 2² + 3² = 13 = 3.6² + 0.2²

3.2² + 2.4² = 16

1² + 4² = 1.6² + 3.8²= 17

0.6² + 4.2² = 3² + 3² = 18

0.8² + 4.4² = 2² + 4² = 20

Theo phương pháp bình dân, ta cũng tìm được các giá trị của c, nhưng chỉ từ 1 đến 26 trong bảng giá trị của Hardy và Wright lấy từ internet, ta còn tìm thêm các giá trị của c là 5, 8, 9, 16, 18, 20, …

“1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 16, 17, 18, 20, 26,…”

……

Với phương pháp bình dân đơn giản trên, các bạn trẻ thử tìm giá trị cuả c khi n = 4 như dãy số cuả “Bremner and Morton” dưới đây

2, 17, 32, 82, 97, 162, 257, 272, 337, 512, 626, 641, 706, 881, 1250, 1297, 1312, 1377, 1552, 1921, 2402, 2417, 2482, 2592, 2657, 3026, 3697, 4097, 4112, 4177, 4352, 4721, 4802, 5392, …

Áp dụng phương pháp r⁴ + s⁴ = c ta có

r⁴ + s⁴ = c

1⁴ + 1⁴ = 2

1⁴ + 2⁴ = 17

2⁴ + 2⁴ = 32

1⁴ + 3⁴ = 82

2⁴ + 3⁴ = 97

3⁴ + 3⁴ = 162

1⁴ + 4⁴ = 257

4⁴ + 2⁴ = 272

3⁴ + 4⁴ = 337

….

Tiếp tục ta tìm một dãy số dài vô tận giá trị c, n càng lớn ta càng dể tìm giá trị cuả c

Qua internet ta thấy nhà toán học David Wilson tìm ra bảng giá trị của c (n= 5) sau đây:

“David Wilson has suggested that the c-sequence for n = 5 is:

2, 31, 33, 64, 211, 242, 244, 275, 486, 781, 992, 1023, 1025, 1056, 1267, 2048, 2101, 2882, 3093, 3124, 3126, 3157, 3368, 4149, 4651, 6250, 6752, 7533, 7744, 7775, 7777, 7808, 8019, 8800, 9031, 10901, 13682, 15552, 15783, 15961, 16564, 16775, 16806, 16808, 16839, 17050, 17831, 19932, 24583, 24992, 26281, 29643, 31744, 32525, 32736, 32767, 32769, 32800, 33011, 33614, 33792, 35893, 40544, 40951, 42242, 49575, 51273, 55924, 58025, 58806, 59017, 59048, 59050, 59081, 59292, 60073, 61051, 62174, 65536, 66825, 67232, …”

Áp dụng r⁵ + s⁵ = c, với tất cả giá trị nguyên, hữu tỷ của r và s miễn sao giá trị của c là số nguyên

r⁵ + s⁵ = c

1⁵ + 1⁵ = 2

(-)1⁵ + 2⁵ = 31

1⁵ + 2⁵ = 33

2⁵ + 2⁵ = 64

(-2)⁵ + 3⁵ = 211

(-1)⁵ + 3⁵ = 242

1⁵ + 3⁵ = 244

2⁵ + 3⁵ = 275

……..

9⁵ + 2⁵ = 59081

9⁵ + 3⁵ = 59292

9⁵ + 4⁵ = 60073

…

Wiles’ achievement was to show that the first term of the c-sequence for every n ≥ 3 is necessarily 2 (not 1). Very few other statements of such generality have been proved. We conjecture, for example, that the next nineteen terms of the c-sequence for every even n ≥ 4 are:

1 + 2ⁿ	2^{n + 1}	1 + 3ⁿ	2ⁿ + 3ⁿ	2 · 3ⁿ
1 + 4ⁿ	2ⁿ + 4ⁿ	3ⁿ + 4ⁿ	2 · 4ⁿ	1 + 5ⁿ
2ⁿ + 5ⁿ	3ⁿ + 5ⁿ	4ⁿ + 5ⁿ	2 · 5ⁿ	1 + 6ⁿ
2ⁿ + 6ⁿ	3ⁿ + 6ⁿ	4ⁿ + 6ⁿ	5ⁿ + 6ⁿ

and that the next twenty-three terms of the c-sequence for every odd ≥ 5 are:

-1 + 2ⁿ	1 + 2ⁿ	2^{n + 1}	-2ⁿ + 3ⁿ	-1 + 3ⁿ
1 + 3ⁿ	2ⁿ + 3ⁿ	2 · 3ⁿ	-3ⁿ + 4ⁿ	-2ⁿ + 4ⁿ
-1 + 4ⁿ	1 + 4ⁿ	2ⁿ + 4ⁿ	3ⁿ + 4ⁿ	2 · 4ⁿ
-4ⁿ + 5ⁿ	-3ⁿ + 5ⁿ	-2ⁿ + 5ⁿ	-1 + 5ⁿ	1 + 5ⁿ
2ⁿ + 5ⁿ	3ⁿ + 5ⁿ	4ⁿ + 5ⁿ

A verification would perhaps begin with the following proposition of Serre[7], the truth of which is rooted in Wiles’ proof of the semi-stable Taniyama-Shimura-Weil theorem. If p ≥ 11 is a prime number, c is a power of one of the primes belonging to the set {3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 53, 59} but c is not a power of p, then the equation x^p + y^p = c · z^p is insolvable. I gather that most number theorists believe the restriction p ≥ 11 can be relaxed to p ≥ 5, but a proof of this belief is not known.

Tóm lại với phương pháp bình dân, tôi giới thiệu đến quý vị và các bạn trẻ ở trên có thể giải quyết vấn đề tìm giá trị cuả c ở bất kỳ thời điểm nào cuả n, n nguyên tố hay không nguyên tố, không phải dừng lại ở n = 5, mà n có thể 6, 7, 8, 9, 10 ….. rất dể, và phương pháp bình dân nầy còn nhiều công dụng khác như tìm giá trị cuả x, y, z …

rⁿ + sⁿ = c

n à ∞

Khi ta tìm được giá trị cuả c, suy ra giá trị cuả x, y, z theo r, s như sau

x = r∙z

y = s∙z

cứ mỗi giá trị cuả z, ta sẽ tìm được giá trị cuả x, y tương ứng với z, do đó ta có vô số giá trị cuả x, y, z

Các nhà Toán học mới nói tới vấn đề tìm c đã rất khó, chưa thấy nói đến phương pháp nào để tìm x, y, z. muốn tìm gía trị cuả x, y, z, phải là các Giáo sư toán, hay các nhà Toán học nổi tiến, chứ trình độ bình dân như chúng ta thì rất khó. Mời xem Selmer với n = 3 dưới đây

2, 6, 7, 9, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 22, 26, 28, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 42, 43, 48, 49, 50, …

“Selmer[2] additionally listed sample solutions (x, y, z) for each of the above c-values; we give just a few here:

C	x	Y	z
2	1	1	1
6	37	17	21
7	2	-1	1
9	2	1	1
12	89	19	39
13	7	2	3
15	683	397	294
17	18	-1	7
19	3	-2	1
20	19	1	7
22	25469	17299	9954
26	3	-1	1
28	3	1	1

Tổng quát Phương pháp bình dân

Phương pháp bình dân cuả “r & s” như sau

ζ(s) = rⁿ + sⁿ = c

ζ(c) = 0

n à ∞

x = r∙z

y = s∙z

Ta thử áp dụng phương pháp bình dân để giải các bài toán bậc 2 có dạng Generalized Fermat-Wiles Equation dưới đây

*) Bình phương Gà, Vịt, Ngỗng, lấy kết quả, vịt cộng gà, chia ngỗng tương đương 13 hỏi mỗi thứ mấy con

GIẢI

Bài toán với 3 ẩn số gà, vịt, ngỗng (x, y, z), nếu giải theo phương pháp Hiện đại cuả phương Tây không biết có đơn giản không?

Theo đề bài toán gà, vịt, ngỗng tất cả lũy thừa 2

Gọi x = gà, y = vịt, z = ngỗng ta có

( x² + y²)/z²≡ c

Ta viết lại thành dạng Fermat-Wiles Equation

x² + y² ≡ c ∙ z²

với c ≡ 13

áp dụng phương pháp

r² + s² = c

theo đề ta đã có những giá trị cuả r,s nếu chưa có ta dừng máy tính để tìm r,s

r² + s²= c

1.2² + 3.4² = 13

0.2² + 3.6² = 13

2² + 3² = 13

a) Áp dụng phương pháp

ζ(s) = rⁿ + sⁿ = c

ζ(c) = 0

n à ∞

x = r∙z

y = s∙z

với

r² + s²= c

1.2² + 3.4² = 13

Ta có kết quả như sau

x = r∙z

x = 1.2∙z

ta chon giá trị nhỏ nhất của z để x là số nguyên (z = 5)

x = 1.2 x 5 = 6

y = s∙z

y = 3.4 x 5 = 17

Thay các giá trị x, y, z vừa tìm thử lại

(x² + y²)/z² = 13

(6² + 17²)/5² = 13

Ta có đáp số

gà = 6 con,

vịt = 17 con,

ngỗng = 5con

b) Áp dụng phương pháp bình dân tương tự trên

với

r² + s²= c

0.2² + 3.6² = 13

ta có

x = r∙z

x = 0.2∙z ta chon z = 5 như trên để x là số nguyên

x = 0.2 x 5 = 1

y = s∙z

y = 3.6 x 5 = 18

Thay các giá trị x, y, z vừa tìm thử lại

(x² + y²)/z² = 13

(1² + 18²)/5² = 13

Đáp số

gà = 1 con,

vịt = 18 con,

ngỗng = 5con

c) Áp dụng phương pháp bình dân

với

r² + s²= c

2² + 3² = 13

Ta có kết quả như sau

x = r∙z

x = 2∙z ta chon z = 1 giá trị nhỏ nhất để x là số nguyên

x = 2 x 1 = 2

y = s∙z

y = 3 x 1 = 3

Thay các giá trị x, y, z vừa tìm thử lại

(x² + y²)/z² = 13

(2² + 3²)/1² = 13

Đáp số

gà = 2 con,

vịt = 3 con,

ngỗng = 1con

Bài toán trên có 3 kết quả

Đáp số 1)

gà = 6 con, vịt = 17 con, ngỗng = 5con

Đáp số 2)

gà = 1 con, vịt = 18 con, ngỗng = 5con

Đáp số 3)

gà = 2 con, vịt = 3 con, ngỗng = 1con

Bài tập ứng dụng

Mời các bạn trẻ làm thử, nếu đọc xong phương pháp bình dân, mà các bạn vẫn chưa làm được các bài toán dưới đây, thì lỗi do tôi hướng dẫn vụng về, chứ không phải bạn dở toán đâu

Các bài toán trông rất đơn giản, nhưng thật sự nó không đơn giản, vì trong phương trình bậc 2, có tới 3 ẩn số ta phải tìm có dạng

c là số nguyên, giá trị phải tìm của x, y, z cũng là số nguyên, phương trình trên viết lại như sau

x² + y² ≡ c ∙ z²

1*) 3 miếng ruộng hình vuông, tổng diện tích 2 miếng ruộng đầu, trên diện tích miếng ruộng thứ 3 bằng 20

Hỏi mỗi cạnh miếng ruộng là bao nhiêu đơn vị (đơn vị là số nguyên tính bằng met)

Đáp số: x = 4m, y = 22m, z = 5m

x = 2m, y = 4m, z = 1m

2*) Có 3 thữa ruộng hình vuông, tổng diện tích (tính bằng m²), 2 thữa ruộng đầu, trên diện tích thữa ruộng thứ 3 bằng 17

Hỏi mỗi cạnh cuả từng thữa ruộng là bao nhiêu met

Đáp số: x = 16m, y = 38m, z = 10m

x = 2m, y = 8m, z = 1m

3*) Có 3 đám ruộng hình vuông, tổng diện tích 2 đám ruộng đầu, trên diện tích đám ruộng thứ 3 bằng 130, (diện tích tính bằng met vuông)

Hỏi mỗi cạnh cuả từng đám ruộng là bao nhiêu met

Đáp số: x = 21m, y = 27m, z = 3m

x = 11m, y = 3m, z = 1m

4*) Gà Vịt Ngỗng tổng số 272 con, cho biết

(vịt² + gà²)/(ngỗng²) ≡ 137

Hỏi mỗi thứ mấy con

5*) Gà Vịt Ngỗng tổng số 154 con, cho biết

(vịt² + gà²)/(ngỗng²) ≡ 233

Hỏi mỗi thứ mấy con

6*) Gà Vịt Ngỗng tổng số 120 con, cho biết

(vịt² + gà²)/(ngỗng²) ≡ 277

Hỏi mỗi thứ mấy con

7*) Giải phương trình sau đây:

x² + y² = 65∙z²

8*) Giải phương trình sau đây:

x² + y² = 170∙z²

9*) Giải phương trình sau đây:

x² + y² = 90∙z²

10*) Giải phương trình sau đây:

x² + y² = 137∙z²

11*) Giải phương trình sau đây:

x² + y² = 365³

12*) Giải phương trình sau đây:

x² + y² = 410³

….

Tóm lại

Phương pháp bình dân, không những giúp ta có thể giải quyết tất cả các phương trình tổng quát thuộc dạng Generalized Fermat-Wiles Equation “ xⁿ + yⁿ = c ∙ zⁿ” (n tiến đến vô cực), mà còn giúp ta giải quyết nhiều loại phương trình Diophantus khác sau nầy,

Phương pháp bình dân được trình bày theo quan điểm toán học

ζ(s) = rⁿ + sⁿ = c

ζ(c) = 0

n à ∞

x = r∙z

y = s∙z

Võ Văn Rân
[Source] http://www.research.att.com/~njas/sequences/a020898.html

Tags: Diophantine Equations