Generalized Fermat-Wiles Equation (Phần 2)

Diophantine Equations bậc 2

 Dạng “Diophantine Equations” bậc 2 cổ xưa nhất cuả người Babylon 1800-1600 trước Công nguyên

                                             2x² –  y² = 1

 Trước đây ta có nói sơ qua dạng phương trình đặt biệt nầy, nhưng không biết người Babylon họ giải bằng cách nào? Nay có Phương Pháp Bình Dân, ta áp dụng để giải thử được hay không?

 

Kính mời quý vị và các bạn trẻ Học sinh, Sinh viên có quan tâm về Toán học, tiếp tục tìm hiểu “Diophantine Equations” bậc 2 cỗ xưa nhất cuả người Babylon thuộc Iraq (?) ngày nay

 

                                         2x² –  y² = 1

 

                                                            Giải

 

Ta viết lại phương trình cỗ thành

 

                                            1² +  y² = 2x²

 

Phương trình viết lại  “1² +  y² = 2x²”  có dạng Fermat Wiles Equation

 

                                            xⁿ +  yⁿ = c∙xⁿ

 

Phương pháp tổng quát cho Fermat Wiles Equation “xⁿ +  yⁿ = c∙xⁿ” là

 

                                                    ζ(s) = … rⁿ + sⁿ  =  c 

                                                       r   =   ⁿ√(c  – sⁿ )               

                                                    ζ(c) =  0

                                                       n  à ∞                                              

 

                                                        x = r∙z

 

                                                        y = s∙z

 

 

 

Trở lại phương trình

                                            1² +  y² = 2x² (x thay vị trí cuả z)

 

Phương trình cỗ cuả người Babylon đã cho biết trước c =2 và một ẩn số z = 1 ta chỉ cần tìm 2 ẩn số kia (x, y) theo 1

 

Dùng máy tính tìm r, s để ta có  “r² + s² = 2”

 

    r²  +  s²   = 2

 

   1²  +  1²   = 2

 

0.2²  + 1.4² = 2

 

Thay các giá trị cuả r & s để tìm 2 ẩn số kia x, y

 

1 = r ∙ x (ta thay thế z = x) à x = 1/r = 1/1 = 1

 

y = s ∙ x = 1 ∙ 1 = 1

 

thay các giá trị cuả x, y vào phương trình cỗ thử lại

 

2x²    – y² = 1

2 ∙ 1² – 1² = 1

    2   – 1   =  1

 

Đáp số 1

 

x = 1 và y = 1

 

thay giá trị thứ 2 cuả r, s

 

1 = r ∙ x à x = 1/r = 1/0.2 = 5

 

y = s ∙ x à y = 5 x 1.4 = 7

 

thay các giá trị cuả x, y vào phương trình cỗ thử lại

 

2x²    – y² = 1

2 ∙ 5² – 7² = 1

 

    50 – 49 = 1

Đáp số 2

 

x = 5 và y = 7

 

 

Bài Toán Thuộc Dạng Cỗ     

 

 

*) Tìm giá trị của x và y cuả phương trình sau đây

 

                                       13x² –  y² = 1

 

                                                  Giải

 

Cũng tương tự như trên ta viết lại phương trình trên thành

 

                                            1 +  y² = 13x²

 

 

Phương trình 1² +  y² = 13x² nầy có dạng Fermat Wiles Equation

 

                                            xⁿ +  yⁿ = c∙xⁿ

 

Ta áp dụng phương pháp bình dân

 

                                                    ζ(s) = … rⁿ + sⁿ  =  c 

                                                       r   =   ⁿ√(c  – sⁿ )               

                                                    ζ(c) =  0

                                                       n  à ∞

 

                                                 

                                                        x = r∙z

 

                                                        y = s∙z

 

 

 

 

Cho phương trình viết lại

 

                                            1² +  y² = 13x²

 

 

Dùng máy tính tìm r, s để ta có  “r² + s² = 13”

 

    r²  +  s²   = 13

 

   2²  +  3²   = 13

 

0.2²  + 3.6² = 13

 

1.2²  + 3.4²  = 13

 

Thay các giá trị cuả r & s để tìm giá trị x, y cuả phương trình viết lại

 

                                            1² +  y² = 13x²

 

1 = r ∙ x à x = 1/r = 1/2 = 0.5

 

y = s ∙ x = 3 ∙ 0.5 = 1.5

 

nghiệm của x, y không nguyên, nên không nhận được

 

Tiếp tục thay các giá trị thứ 2 cuả r & s

 

1 = r ∙ x à x = 1/r = 1/0.2 = 5

 

y = s ∙ x = 3.6 ∙ 5 = 18

 

thay các giá trị cuả x, y vừa tìm vào phương trình cỗ thử lại

 

13x²  – y²    = 1

13∙5² – 18² = 1

325   –  324 = 1

 

Đáp số 1

 

x = 5 và y = 18

 

Các giá trị cuả r,s thứ 3 không nhận được vì cho ra giá trị cuả x, y không nguyên

 

Tóm lại tìm được 3 giá trị cuả r & s nhưng phương trình cỗ chỉ có 1 đáp số

…..

 

Generalized Fermat-Wiles Equation

Ta trở lại với các phương trình bậc 2 bình thường, nói cách khác ta trở lại với Fermat Wiles Equation bậc 2

Ta áp dụng phương pháp bình dân

 

                                                    ζ(s) = … rⁿ + sⁿ  =  c 

                                                       r   =   ⁿ√(c  – sⁿ )               

                                                    ζ(c) =  0

                                                       n  à ∞

 

                                                 

                                                        x = r∙z

 

                                                        y = s∙z

 

 

 

*) Một thùng đựng 100 viên bi, có 3 màu Xanh, Vàng, Tím, biết rằng bình phương 2 thứ bi xanh, bi vàng cộng lại, bằng tích số của 5 với bi màu tím bình phương

Tìm xem mỗi màu có mấy viên bi

 

                                           Giải

 

Gọi A= bi màu xanh, B = bi màu vàng, C = bi màu tím

 

Theo giả thuyết ta có

 

                 F₁(s)      =    A + B + C  =  100

 

Và            F₂(s)      =        A² + B²   =  5.C²

 

Áp dụng công thức mới với n = 2

 

                                                    ζ(s) = … rⁿ + sⁿ  =  c 

                                                       r   =   ⁿ√(c  – sⁿ )               

                                                    ζ(c) =  0

                                                       n  à ∞

 

                                                  

                                                        x = r∙z

 

                                                        y = s∙z

 

 

 

 

Được tính như sau

 

                  ζ(s) = c và ζ(c) = 0

 

                        ζ(s) = r² + s²  = 5

 

                                        A   =   r•C

 

                                        B   =   s•C

                                       

 

Dùng máy tính để tìm giá trị của r, s, t ta có

 

                ζ(s) =  1²+ 2² = 2.2² + 0.4² = 5

 

 

Phương pháp thứ nhất với

 

                        ζ(s) =  1²+ 2² = 5

 

                           A = 1•C     

                           B = 2•C

  

                           C = 100/4 = 25 viên bi (nếu lẻ thì ta chỉ lấy số nguyên)

 

                           A = 1C = 1 •25 = 25 viên bi

                           B = 2C = 2 •25 = 50 viên bi

                                                     

 

 

Thay các giá trị nầy vào F₁(s)   và   F₂(s) thử lại để biết đây có phải là đáp số của bài toán không ?    

 

 

                 F₁(s)      =    A + B + C  =  100

 

                                 25 + 50 + 25  = 100

 

Và            F₂(s)      =        A² + B²  =  5.C²

 

Và            F₂(s)      =    25² + 50²   ≡  5×25²   =  3125

 

 

Đáp số 1:  Màu xanh:           25 viên bi

                  Màu vàng            50 –

                  Màu tím              25 –

                 

 

Phương pháp thứ hai với

 

                ζ(s) =  2.2² + 0.4² = 5

 

Ta chỉ nhận các đáp số là số nguyên, chứ bi không thể 2/3 hay ¾ bi

 

                           A = 2.2•C     

                           B = 0.4•C

 

Do đó để A và B là số nguyên thì giá trị của C

                           C = 25 hoặc 30 viên bi

 

                           A = 2.2•25 = 55    

                           B = 0.4•25 = 10

  

 

 

Thay các giá trị nầy vào F₁(s)   và   F₂(s) thử lại để biết đây có phải là đáp số của bài toán không ?    

 

 

                 F₁(s)      =    A + B + C  =  100

 

                                 55 + 10 + 25  =  90

 

Đáp số nầy không nhận được vì nhỏ thua 100

 

                           C = 30 viên bi

 

                           A = 2.2•30 = 66    

                           B = 0.4•30 = 12

  

 

 

Thay các giá trị nầy vào F₁(s)   và   F₂(s) thử lại để biết đây có phải là đáp số của bài toán không ?    

 

 

                 F₁(s)      =    A + B + C  =  100

 

                                 66 + 12 + 30  =  108

 

Đáp số nầy cũng không nhận được vì lớn hơn 100

 

Bài toán chỉ có một đáp số

 

 

Đáp số :    Màu xanh:           25 viên bi

                  Màu vàng            50 – –

                  Màu tím              25 – –

                 

                           

 

*) Một thùng đựng bi, có 3 màu xanh, vàng, tím

Cho biết màu tím là 45 bi, bình phương 2 thứ xanh, vàng cộng lại, bằng tích số của 13 với bi màu tím bình phương

-Tìm xem thùng bi nhiều nhất có mấy viên

-Mỗi màu có bao nhiêu viên bi ?

 

                                           Giải

 

Gọi A= bi màu xanh, B = bi màu vàng, C = bi màu tím

 

Theo giả thuyết ta có

 

 

           F₁(s)      =        A² + B²   =  13.C²

 

Áp dụng công thức mới với n = 2

 

                                                    ζ(s) = … rⁿ + sⁿ  =  c 

                                                       r   =   ⁿ√(c  – sⁿ )               

                                                    ζ(c) =  0

                                                       n  à ∞

 

                                                 

                                                        x = r∙z

 

                                                        y = s∙z

 

 

 

 

Được tính như sau

 

                  ζ(s) = c và ζ(c) = 0

 

                        ζ(s) = r² + s²  = 13

 

                                        A   =   r•C

 

                                        B   =   s•C

                                        

 

Dùng máy tính để tìm giá trị của r, s, t ta có

 

                ζ(s) =  2²+ 3² = 1.2² + 3.4² = 0.2² + 3.6² = 13

 

 

Phương pháp thứ nhất với

 

                        ζ(s) =  2²+ 3² = 13

 

                           A = 2•C     

                           B = 3•C

Theo giả thuyết ta có

  

                           C = 45 viên bi

 

                           A = 2•C = 2 •45 = 90 viên bi  

                           B = 3•C = 3 •45 = 135  – –

                          

                                                      

Thay các giá trị nầy vào F₁(s) thử lại để biết đây có phải là đáp số của bài toán không ?    

 

                F₁(s)      =        A² + B²  =  13.C²

 

                              =    90² + 135²  =  13×45²   =  26325

 

 

Đáp số 1:  Màu xanh:           90 viên bi

                  Màu vàng          135 –  –

                  Màu tím              45 –  –

 

Thùng bi      =    A + B + C    

                     =    90 + 135 + 45  =  270 Bi

 

Ngoài ra ta còn nhiều đáp số khác

 

Phương pháp thứ hai với

 

                        ζ(s) =  1.2²+ 3.4² = 13

 

                           A = 1.2•C     

                           B = 3.4•C

Theo giả thuyết ta có

  

                           C = 45 viên bi

 

                           A = 1.2•C = 1.2 •45 = 54 bi  

                           B = 3.4•C = 3.4 •45 = 153 bi

                          

                                                     

Thay các giá trị nầy vào F₁(s) thử lại để biết đây có phải là đáp số của bài toán không ?    

 

                F₁(s)      =        A² + B²  =  13.C²

 

                              =    54² + 153²  =  13×45²   =  26325

 

 

Màu Đáp số 2:  

 

                 Màu xanh:           54 bi

                  Màu vàng          153 –

                  Màu tím              45 –

 

Thùng bi      =    A + B + C    

                     =    54 + 153 + 45  =  252 bi

 

Phương pháp thứ ba với

 

                        ζ(s) =  0.2²+ 3.6² = 13

 

                           A = 0.2•C     

                           B = 3.6•C                          

Theo giả thuyết ta có

  

                           C = 45 viên bi

 

                           A = 0.2•C = 0.2 •45 = 9 bi  

                           B = 3.6•C = 3.6 •45 = 162 bi

                          

                                                     

Thay các giá trị nầy vào F₁(s) thử lại để biết đây có phải là đáp số của bài toán không ?    

 

                F₁(s)      =        A² + B²  =  13 •C²

 

                              =    9² + 162²  = •13  45²   =  26325

 

 

Đáp số 3:  Màu xanh:             9 bi

                  Màu vàng          162 –

                  Màu tím              45 –

 

Thùng bi      =    A + B + C    

                     =    9 + 162 + 45  =  216 bi

 

Ta tìm được 3 đáp số sau đây

 

 

Thùng bi  nhiều nhất    =      270 bi

 

 

Đáp số 1:  Màu xanh:           90 bi

                  Màu vàng          135 –

                  Màu tím              45 –

  

 

Đáp số 2:  Màu xanh:           54 bi

                  Màu vàng          153 –

                  Màu tím              45 –

 

 

Đáp số 3:  Màu xanh:             9 bi

                  Màu vàng          162 –

                  Màu tím              45 –

 

           ….      

                                       

 Ứng dụng

 

Giá trị c ở thời điểm n = 2, ta có thể áp dụng cho các bài toán sau            

             1²  +  1²  = 1.4²  +  0.2²  = 2

                               1.6²  +  1.2²  = 4 = (24/13)² + (10/13)² = (48/25)² + (14/25)²

             1²  +  2²  =  2.2²  +  0.4²  = 5

             2.8² + 0.4² =    2²  +  2²  = 8

                               1.8²  +  2.4²  = 9 = (120/41)² + (27/41)²= (180/61)² + (33/61)²  

             1²  +  3²  =  1.8² + 2.6²   = 10

             1.2²  +  3.4²  =  2²  +  3²  = 13 = 3.6² + 0.2²

                                3.2² + 2.4²  = 16

             1²  +  4²  =  1.6²  + 3.8²   = 17

           0.6²  +  4.2²  =   3²  +  3²  = 18

            0.8²  +  4.4²  =  2²  +  4²  = 20

                      …..

 

1*) Một hộp kẹo trên, dưới 200 viên, kẹo có 3 màu xanh, vàng và tím

Cho biết bình phương cả 3 thứ kẹo, cộng 2 thứ kẹo xanh, vàng, bằng tích số 17 với kẹo màu tím

-Tìm xem hộp kẹo nhiều nhất có mấy viên

-Mỗi màu có bao nhiêu viên kẹo ?

 

2*) Tìm giá trị x,y cuả phương trình cỗ

 

                                     5x² – y² = 1

 

3*) Một hộp trên, dưới 300 viên bi, có 3 màu xanh, vàng và tím

Cho biết 2 thứ bi màu xanh, vàng bình phương rồi cộng lại, bằng tích số 20 với bi màu tím bình phương

-Tìm xem thùng bi nhiều nhất có mấy viên

-Mỗi màu có bao nhiêu bi ?

 

4*) Tìm giá trị x,y cuả phương trình cỗ

 

                                     10x² – y² = 1

 

 

5*) Một thùng đựng khoảng 350 viên bi, có 3 màu xanh, vàng và tím

Cho biết 2 thứ bi xanh, vàng bình phương, rồi cộng lại, bằng tích số của 25 với bi màu tím bình phương

-Tìm xem thùng bi nhiều nhất có mấy viên

-Mỗi màu có bao nhiêu bi ?

 

6*) Tìm giá trị x,y cuả phương trình cỗ

 

                                     17x² – y² = 1

 

 

7*) Giải phương trình tìm giá trị x, y nguyên

 

                                     x² + y² = 313³

 

8*) Giải phương trình tìm giá trị x, y nguyên

 

                                     x² + y² = 970³

 

9*) Một thùng kẹo khoảng 370 viên, kẹo có 3 màu xanh, vàng và tím

Cho biết bình phương 2 thứ kẹo xanh, kẹo vàng rồi cộng lại, bằng tích số 29 với kẹo màu tím bình phương

-Tìm xem thùng kẹo nhiều nhất có mấy viên

-Mỗi màu có bao nhiêu viên kẹo?

 

10*) Tìm giá trị x,y cuả phương trình cỗ

 

                                     26x² – y² = 1

 

 

11*) Giải phương trình tìm giá trị x, y nguyên

 

                                     x² + y² = 2050³

 

 

12*) Giải phương trình tìm giá trị x, y, z nguyên

 

                                     x² + y² = 20z²

 

 

13*) Giải phương trình tìm giá trị x, y, z nguyên

 

                                     x² + y² = 4z²

 

14*) Giải phương trình tìm giá trị x, y, z nguyên

 

                                     x² + y² = 17z²

 

 

15*) Giải phương trình tìm giá trị x, y, z nguyên

 

                                     x² + y² = 18z²

 

16*) Giải phương trình tìm giá trị x, y, z nguyên

 

                                     x² + y² = 9z²

 

17*) Tìm giá trị x,y cuả phương trình cỗ

 

                                     5x² – y² = 4

 

18*) Tìm giá trị x,y cuả phương trình cỗ

 

                                     8x² – y² = 4

 

19*) Tìm giá trị x,y cuả phương trình cỗ

 

                                     18x² – y² = 9

 VÕ VĂN RÂN