Generalized Fermat-Wiles Equation (Phần 3)

On a Generalized Fermat-Wiles Equation

Có dạng tổng quát

                                          xⁿ + yⁿ = c · zⁿ

Với n = 2, như các bài toán trên, các bạn trẻ cảm thấy không có gì khó khăn lắm, mà cứ nói đi nói lại cũng bấy nhiêu, không có gì mới mẻ các bạn sẽ chán, trong bài nầy tôi cố gắng tăng thêm các ẩn số của phương trình như dạng dưới đây

                                   vⁿ + xⁿ + yⁿ =  k · zⁿ

Tương tự như Fermat-Wiles Equation, chỉ thêm một ẩn số nửa là “v”, Phương trình mới có dạng tương tự Fermat-Wiles Equation, nên ta vẫn dùng công thức r & s mở rộng như sau

                                                    ζ(s) =  rⁿ + sⁿ  + … =   k

                                                       r   =   ⁿ√( k  – sⁿ – …)               

                                                    ζ(k) =  0

                                                       n  à ∞

                                                      ….

                                                        x = r∙z

                                                        y = s∙z

Ta có

                  ζ(s) = k và ζ(k) = 0

                  ζ(s) = rⁿ + sⁿ + tⁿ = k

Nhìn vào ký hiệu trên ta hiểu ngay các giá trị cuả r,s,t là số nguyên hay hữu tỷ, chứ không phải là số vô tỷ

Trường hợp  ζ(s) = k và ζ(k) ≠ 0 thì ít nhất có một giá trị thuộc “r,s,t” là số vô tỷ,

                                        v   =   r · z

                                        x   =   s · z

                                        y   =   t · z

Áp dụng phương pháp bình dân mở rộng

Công thức đã có, trong khi chờ đợi có bài toán thuộc dạng nầy, hoặc tương tự để giải thử, nhưng chưa có bài nào, các bạn trẻ giải thử các bài toán “BÌNH DÂN”, sau đây, nếu có gì không chỉnh, hoặc sai mong các bạn tha thứ và chỉ dẫn cho  

1*) Bầy gia súc gồm có gà, vịt, ngỗng, ngan

Nếu lũy thừa mỗi thứ lên 2, xong ta cộng chung

3 thứ gà, vịt, ngỗng,  sẽ tương đương tích số 38 với ngan (1)

Tim xem mỗi thứ mấy con

(1) cho biết ngan là 315 con

                         Giải

Gọi v = gà

       x = vit,

       y = ngỗng,

       z = ngan

Theo đề ta có phương trình sau đây

                                   v² + x² + y² ≡  38· z²

 

Bài toán trên thuộc dạng Diophantine Equation bậc 2 nên có rất nhiều đáp số,  

Áp dụng công thức mở rộng trên ta có

                                                    ζ(s) =  rⁿ + sⁿ  + … =   k

                                                       r   =   ⁿ√( k  – sⁿ – …)               

                                                    ζ(k) =  0

                                                       n  = 2

                                                      ….

                                                        x = r∙z

                                                        y = s∙z

Công việc tiếp theo tìm ζ(s)  = k = 38 và ζ(k) = 0

                  ζ(s) = r² + s² + t² = 38

Dùng máy tính để tìm giá trị của r, s, t, ta có ít nhất 4 giá trị sau đây

                ζ₁(s) = 2² + 3² + 5² = 38

                ζ₂(s) = 2.8² + 4.6² + 3² = 38

                ζ₃(s) = 3.6² + 0.2² + 5² = 38

                ζ₄(s) = 1.4² + 0.2² + 6² = 38

                 …

Thay các giá trị cuả r,s,t vừa tìm ở trên, để tìm v, x, và y

Theo phương pháp sau

                                        v   =   r · z

                                        x   =   s · z

                                        y   =   t · z

Như vậy ta cũng có ít nhất 4 đáp số sau đây

1)      thay các giá trị cuả ζ₁(s)

                                       ζ₁(s) = 2² + 3² + 5² = 38

                                        v₁   =   r₁ · z

                                        v₁   =    2 · 315 = 630

                                        x₁   =   s₁ · z

                                        x₁   =    3 · 315 = 945

                                        y₁   =   t₁ · z

                                        y₁   =    5 · 315 = 1575

Thay các giá trị vừa tìm vào phương trình thử lại

                                   v² + x² + y² ≡  k · z²

                                   630² + 945² + 1575² ≡  38 · 315² ≡ 3770550

Các giá trị trên nghiệm đúng phương trình

Suy ra

                          Gà = 630 con, vịt = 945 con, ngỗng = 1575 con

2)      thay các giá trị cuả ζ₂(s)

                                ζ₂(s) = 2.8² + 4.6² + 3² = 38

                                        v₂   =   r₂ · z

                                        v₂   =   2.8 · 315 = 882

                                        x₂   =   s₂ · z

                                        x₂   =   4.6 ·315 = 1449

                                        y₂   =   t₂ · z

                                        y₂   =   3 · 315  = 945

Thay các giá trị thứ 2 của v, x, y vừa tìm và phương trình

                                   v² + x² + y² ≡  k · z²

                                   882² + 1449² + 945² ≡  38 · 315²  ≡ 3770550

Các giá trị thứ 2 cuả v, x, y nghiệm đúng phương trình

Suy ra

                             Gà = 882 con, vịt = 1449, ngỗng = 945,

3)      thay các giá trị cuả ζ₃(s)

                                      ζ₃(s) = 3.6² + 0.2² + 5² = 38

                                        v₃   =    r₃ · z

                                        v₃   =  3.6 · 315 = 1134

                                        x₃   =    s₃ · z

                                        x₃   =  0.2 · 315 = 63

                                        y₃   =   t₃ · z

                                        y₃   =   5 · 315 = 1575

Thay các giá trị thứ 3 của v, x, y vừa tìm vào phương trình

                                   v² + x² + y² ≡  k · z²

                                   1134² + 63² + 1575² ≡  38 · 315²  ≡ 3770550

Các giá trị thứ 3 cuả v, x, y nghiệm đúng phương trình

Suy ra

                             Gà = 1134 con, vịt = 63, ngỗng = 1575,

 

4)      thay các giá trị cuả ζ₄(s)

                                       ζ₄(s) = 1.4² + 0.2² + 6² = 38

                                        v₄   =   r₄ · z

                                        v₄   =   1.4 315 = 441

                                        x₄   =   s₄ · z

                                        x₄   =   0.2 315 = 63

                                        y₄   =   t₄ · z

                                        y₄   =   6 315 = 1890

Thay các giá trị thứ 4 của v, x, y vừa tìm vào phương trình

                                     v² + x² + y² ≡  k · z²

                                     441² + 63² + 1890² ≡  38 · 315² ≡ 3770550

Các giá trị thứ 3 cuả v, x, y nghiệm đúng phương trình

Suy ra

                             Gà = 441 con, vịt = 63, ngỗng = 1890,

 

 Tạm thời ta có 4 đáp số vừa tìm ở trên

Đáp số 1

                            Gà = 630 con, vịt = 945 con, ngỗng = 1575 con

Đáp số 2

                             Gà = 882 con, vịt = 1449, ngỗng = 945,

Đ áp số 3

                             Gà = 1134 con, vịt = 63, ngỗng = 1575,

Đáp số 4

                             Gà = 441 con, vịt = 63, ngỗng = 1890,

…

2*) Gà, vịt, ngỗng, ngan trên dưới 200 con

Vế đầu có vịt, ngỗng, ngan

Bình phương 3 thứ, xong rồi cộng chung

Vế sau là tích 78 với gà bình phương

So sánh 2 vế tương đương

Giải xem mỗi thứ có  mấy con

                         Giải

Bài toán có rất nhiều đáp số, nhưng ta chỉ lấy 2 đáp số : trên, dưới 200

(200 ± δ ) và 200 nếu có

Gọi A= vit, B = ngỗng, C = ngan và D = gà

Theo đề bài toán ta có

                 F₁(s)      =    A + B + C + D  ≈  200 ± δ

Và            F₂(s)      =        A² + B² + C²  ≡  78 •D²

Áp dụng công thức mở rộng trên ta có

                                                    ζ(s) =  rⁿ + sⁿ  + … =   k

                                                       r   =   ⁿ√( k  – sⁿ – …)               

                                                    ζ(k) =  0

                                                       n  = 2

                                                      ….

                                                        x = r∙z

                                                        y = s∙z

Công việc tiếp theo tìm  r,s,t

                   ζ(s)  = k và ζ(k) = 0

                  ζ(s) = r² + s² + t² =  k = 78

Dùng máy tính để tìm giá trị của r, s, t ta có rất nhiều giá trị

Nhưng ở đây ta chỉ đơn cử

                  ζ(s) = 2² + 5² + 7² =  4 + 25 + 49 = 78

Theo đề số gà, vịt, ngỗng, ngan tổng số gần 200 con, bằng 200 con hay hơn 200 con   

Lần thứ nhất

Ta tìm các giá trị cuả A, B, C, D để có tổng bằng 200 hoặc gần bằng 200 con

Thay các giá trị cuả r,s,t vừa tìm ở trên, để tìm A, B, C, và D

Theo phương pháp sau

                                        A   =   r · D

                                        B   =   s · D

                                        C   =   t · D

Giá trị cuả D

                                         D  = (200 ± δ) /15 = 13 (ta chỉ lấy số nguyên)

Giá trị cuả A

                                        A   =   r · D

                                        A   =   2 •13 = 26

Giá trị cuả B

                                        B   =   s · D

                                        B   =   5  •13 = 65

Giá trị cuả C

                                        C   =   t · D

                                        C   =   7  •13 = 91

Thay các giá trị nầy vào F₁(s)   và   F₂(s) thử lại để biết đây có phải là đáp số của bài toán không ?    

                  F₁(s)      =    A + B + C + D  ≈  200 ± δ

                                  26 + 65 + 91 + 13 ≡ 195

Giá trị vừa tìm thỏa mản cho F₁(s)     

Và            F₂(s)      =        A² + B² + C²  ≡  38 •D²

                 F₂(s)      =     26² + 65² + 91²  ≡  78 • 13²   ≡   13182

Giá trị vừa tìm cũng thỏa mản cho F₂(s)

Do đó ta nhận được các giá trị đã được ở trên làm đáp số

Đáp số 1:  Vit           26 con

            Ngỗng           65 –

              Ngan           91 –

                  Gà           13 –

Lần thứ 2

Ta tìm các giá trị cuả A, B, C, D để có tổng bằng 200 hoặc lớn hơn 200 (không quá 5%)

Thay các giá trị cuả r,s,t vừa tìm ở trên, để tìm A, B, C, và D

Theo phương pháp sau

                                        A   =   r · D

                                        B   =   s · D

                                        C   =   t · D

Giá trị cuả D

                                         D  = (200 ± δ )/15 = 14 (ta chỉ lấy số nguyên)

Giá trị cuả A

                                        A   =   r · D

                                         A  =  2  • 14 = 28

Giá trị cuả B

                                        B   =   s · D

                                        B  =   5  •14 = 70

Giá trị cuả C

                                        C   =   t · D

                                         C  =   7 • 14 = 98

Thay các giá trị nầy vào F₁(s)   và   F₂(s) thử lại để biết đây có phải là đáp số của bài toán không ?    

                 F₁(s)      =    A + B + C + D  ≈  200 ± δ

                                 28 + 70 + 98 + 14 ≡ 210

Giá trị vừa tìm thỏa mản cho F₁(s)     

Và            F₂(s)      =        A² + B² + C²  ≡   78  •D²

                F₂(s)      =     28² + 70² + 98²  ≡   78 •14²   ≡   15288

Giá trị vừa tìm cũng thỏa mản cho F₂(s)

Do đó ta nhận được các giá trị trên

Đáp số 2:  Vit           28 con

            Ngỗng           70 –

              Ngan           98 –

                  Gà           14 –

Tóm lại bài toán có ít nhất 2 đáp số sau đây

Đáp số 1:  Vit           26 con

            Ngỗng           65 –

              Ngan           91 –

                  Gà           13 –

Đáp số 2:  Vit           28 con

            Ngỗng           70 –

              Ngan           98 –

                  Gà           14 –

 

 Ứng dụng

3*) Một thùng đựng 100 Bi, có 4 màu: Trắng, Xanh, Vàng, Tím, biết rằng bình phương 3 thứ Trắng Xanh, Vàng cộng lại, bằng tích số của 29 với Bi màu Tím bình phương

Tìm xem mỗi màu có mấy Bi

4*) Một thùng kẹo 345 viên, có 4 màu: Trắng, Xanh, Vàng, Tím, biết rằng bình phương 3 thứ Trắng, Xanh, Vàng cộng lại, bằng tích số của 78 với kẹo màu Tím bình phương

Tìm xem mỗi màu có mấy viên

5*) Một thùng đựng 560 Bi, có 4 màu Xanh, Đỏ, Vàng và Tím

Cho biết bình phương 3 thứ Xanh, Vàng và Đỏ cộng lại, bằng tích số của 11 với Bi màu Tím bình phương

Mỗi màu có bao nhiêu bi ?

VÕ VĂN RÂN