PHƯƠNG TRÌNH KHÁC SỐ MỦ

Posted By: Võ Văn Rânon: September 08, 2010In: KINH TẾ-XÃ HỘI-KHOA HỌCNo Comments

Qua internet ta thấy có dạng phương trình khá đặc biệt cuả hai Nhà Toán học dưới đây

A·x^p + B·y^q = C·z^r

(1/p + 1/q + 1/r < 1)

“H. Darmon and A. Granville, On the equations z^m = F(x, y) and A · x^p + B · y^q = C · z^r, Bull. London Math. Soc. 27 (1995) 513-543; preprint available at Univ. of Georgia; MR 96e:11042. ”

Phương trình khác số mủ “A·x^p + B·y^q = C·z^r” chính là DIOPHANTINE EQUATIONS, ta phải dùng từ “DIOPHANTINE EQUATIONS” để nhắc nhớ rằng nghiệm của dạng phương trình Diophantine nầy, phải nguyên, khác zero, thay vì dùng từ “PHƯƠNG TRÌNH ĐA ẨN SỐ” cho đúng nghĩa BÌNH DÂN Việt nam, thì ta có thể nhầm lẩn, như tìm giá trị của các phương trình bình thường, nghiệm có thể nguyên, không nguyên, hữu tỷ, hay vô tỷ đều nhận được cả,

Dạng DIOPHANTINE EQUATIONS trên, được các Giáo sư Đại học đưa ra cùng tham khảo, chỉ có các Nhà Toán học, các Giáo sư Toán thuộc giới Thượng lưu Toán học mới giám nghỉ tới, còn phần lớn chúng ta không ai giám bàn đến.

Sở dĩ tôi phải nêu tên 2 nhà toán ra, không ngoài mục đích để quý vị và các bạn trẻ thấy, đây là các phương trình do các nhà toán học đưa ra, chứ không phải tôi phịa ra. Kính mong quý vị và các bạn trẻ thô ng cảm cho

PHẦN LÝ THUYẾT

Dạng phương trình đa ẩn số A·x^p + B·y^q = C·z^r, tương đối phức tạp, vì ngoài biến số x, y, z, chúng ta phải tìm các cơ số A, B, C, số mũ p, q, r không bằng nhau với điều kiện:

(1/p + 1/q + 1/r < 1)

*) Phương trình khác số mủ

A·x² + B·y³ = C·z⁴

(1/2 + 1/3 + 1/4 = 6/12 + 4/12 + 3/12 = 13/12 > 1)

3 số mủ 2, 3, 4, không thoả mản điều kiện (1/p + 1/q + 1/r < 1)

*) Phương trình khác số mủ

A·x³ + B·y⁴ = C·z⁵

(1/3 + 1/4 + 1/5 = 20/60 + 15/60 + 12/60 = 47/60 < 1)

Số mủ 3, 4, 5, đúng điều kiện 1/p + 1/q + 1/r < 1

Tương tự các Diophantine Equations sau đây điều nhận được

*) Phương trình khác số mủ

A·x³ + B·y⁵ = C·z⁶

(1/3 + 1/5 + 1/6 = 42/60 < 1)

Số mủ 3, 5, 6, đúng điều kiện 1/p + 1/q + 1/r < 1

*) Phương trình khác số mủ

A·x⁴ + B·y⁵ = C·z⁶

(1/4 + 1/5 + 1/6 = 37/60 < 1)

Số mủ 4, 5, 6, đúng điều kiện 1/p + 1/q + 1/r < 1

*) Phương trình khác số mủ

A·x³ + B·y⁵ = C·z⁷

(1/3 + 1/5 + 1/7 = 71/105 < 1)

Số mủ 3, 5, 7, đúng điều kiện 1/p + 1/q + 1/r < 1

*) Phương trình khác số mủ

A·x² + B·y⁴ = C·z⁸

(1/2 + 1/4 + 1/8 = 7/8 < 1)

Số mủ 2, 4, 8, đúng điều kiện 1/p + 1/q + 1/r < 1

*) Phương trình khác số mủ

A·x¹² + B·y¹⁵ = C·z⁶⁰

(1/12 + 1/15 + 1/60 = 10/60 < 1)

Số mủ 12, 15, 60, đúng điều kiện 1/p + 1/q + 1/r < 1

….

Có rất nhiều phương pháp để giải, nhưng hay nhất có lẽ dùng Định lý sau cùng của Fermat, (FERMAT’S LAST THEOREM) để giải

Nhưng Định lý sau cùng của Fermat phát biểu quá đơn giản:

“xⁿ+ yⁿ = zⁿ không có giá trị x, y, z, nguyên khác zero nghiệm đúng phương trình trên khi n > 2”

không thể áp dụng để giải các Diophantine Equations, ngay cả GS A. Wiles đã bỏ ra nhiều năm liền nghiên cứu về Định lý sau cùng của Fermat, cũng không tài nào áp dụng được. Do đó ta phải tìm phương pháp riêng, biến đổi Diophantine Equations khác số mủ mới dùng được.

Với dạng A · x^p + B · y^q = C · z^r (1/p + 1/q + 1/r < 1)

Trước tiên cân bằng số mũ

Muốn cân bằng số mủ ta phải mượn trong nhóm (ax, by, cz) một số giá trị nào đó cuả các cơ số a, b, c để nâng số mủ cuả x, y, z lên, hoặc cho bớt một số giá trị nào đó để hạ số mủ x, y, y xuống cho bằng nhau

Chú ý

Khi mượn hoặc cho một giá trị nào đó của a, b, c, thì giá trị cuả a, b, c không còn nguyên thuỷ mà nó trở thành a’, b’ hoặc c’

Chuyển sang Phương trình Fermat

Xⁿ+ Yⁿ = Zⁿ

Ta có

X = ⁿ√a· x

Y = ⁿ√b· y

Z = ⁿ√c· z

Áp dụng công thức

Công thức dưới tôi viết từ Định lý sau cùng của Fermat và Phương pháp Bình dân, cho nhiều cấp, nhiều phương trình thuộc dạng Diophantine Equations, số mủ n > 2

Phải viết phương trình trước, có nghĩa là tìm giá trị của a, b, c, sao cho x,y, z có nghiệm nguyên, khác zero

Tiếp theo giải phương trình để tìm giá trị của x, y, z

Sau khi đã giải quyết xong vấn đề, hay nói đúng hơn, sau khi giải xong phương trình, ta phải HOÀNG TRẢ giá trị đã MƯƠN, hoặc CHO đúng vị trí. Như khi ta làm bài toán trừ …

Thử lại

Phương trình đã trở lại vị trí ban đầu, chúng ta thay các giá trị vừa tìm, thử lại nếu đúng, thì đó chính là kết quả của phương trình

Ta thử quan sát phương trình khác số mủ

a · x³ + b · y⁵ = c · z⁴

Phương trình a · x³ + b · y⁵ = c · z⁴ có mũ lớn là n = 5 và nhỏ là n = 3, muốn giải theo Định lý sau cùng của Fermat, phải làm cho các số mũ bằng nhau, bằng cách nâng lên hoặc hạ số mũ cao nhất xuống, với phương trình nầy

Cách 1 : nâng số mũ x và z lên bằng 5

Cách 2 : hạ số mũ y, nâng số mũ x để tất cả bằng 4

Giải cách 1

a · x³ + b · y⁵ = c · z⁴

Chúng ta phải mượn của a một giá trị bằng x², nói cách khác a chia sớt cho x một giá trị dủ để nâng số mũ của x lên bằng 5,

Khi a đã chia bớt, thì giá trị của a bây giờ còn là a. Ta gọi a’ là giá trị mới của a

Ta viết lại như sau

a · x³ = (a’ · x²) x³ = a’· x⁵

giá trị của x không có gì thay đổi chỉ tăng số mũ lên 5

Tương tự ta mượn của c một giá trị bằng z, nói cách khác c chia sớt cho z một giá trị đủ để nâng số mũ của z lên bằng 5

Ta viết lại như sau

c · z⁴ = (c’ · z) z⁴ = c’· z⁵

Tương tự giá trị của z không có gì thay đổi chỉ tăng số mũ lên 5

Thay thế các số mới vào phương trình

a · x³ + b · y⁵ = c · z⁴

Ta có phương trình cùng số mũ 5

a’· x⁵+ b · y⁵ = c’· z⁵ (1)

Đưa phương trình (1) về dạng phương trình Fermat

X⁵+ Y⁵ = Z⁵

Gọi

X = ⁵√a’· x

Y = ⁵√b· y

Z = ⁵√c’· z

Ta có phương trình thuộc dạng Fermat sau đây

Giải cách 2

a · x³ + b · y⁵ = c · z⁴

Cũng bài toán trên, 4 là số mũ trung bình, không lớn, không nhỏ. Chúng ta nâng số mũ của x lên một bậc để có số mũ 4, bằng cách nhờ a chia cho một giá trị bằng x, để nâng số mũ lên 4

Ta viết lại như sau

a · x³ = (a’ · x) x³ = a’· x⁴

và hạ số mũ của y xuống một bậc cho bằng 4, bằng cách chia cho b một giá trị bằng y, ta có phương trình cùng số mũ 4

Ta viết lại như sau

b · y⁵ = (b’/y ) y⁵ = b’· y⁴

Phương trình gốc (a · x³ + b · y⁵ = c · z⁴) viết lại

a’· x⁴+ b’ · y⁴ = c· z⁴ (3)

đưa phương trình (3) về dạng phương trình Fermat

X⁴+ Y⁴ = Z⁴

Đặt

X = ⁴√a’· x

Y = ⁴√b’· y

Z = ⁴√c· z

Ta có phương trình thuộc dạng Fermat

Tiếp tục áp dụng công thức như trên …

Ta thử quan sát phương trình khác số mủ

a·x¹² + b·y¹⁵ = c·z⁶⁰

(1/12 + 1/15 + 1/60 = 10/60 < 1)

Số mủ 12, 15, 60, đúng điều kiện 1/p + 1/q + 1/r < 1

Ta thấy số mủ cách biệt quá lớn (số mủ nhỏ 12 và lớn là 60)

Ta có thể hạ giá trị số mủ 60 của z xuống, bằng cách nâng giá trị cuả z lên

c·z⁶⁰= c·z^15×4

gọi z’ = z⁴

ta có

c·z⁶⁰= c·z’¹⁵

Và nâng số mủ của x lên 3 bậc, bằng cách mượn cuả a

(a’·x³)x¹² = a’· x¹⁵

a’·x¹⁵ + b·y¹⁵ = c·z’¹⁵

Đã xong phần cân bằng số mủ của phương trình

a·x¹² + b·y¹⁵ = c·z⁶⁰

Ta tiếp tục phần còn lại

….

Phần lý thuyết chỉ đơn giản vậy thôi

ÁP DỤNG

*) Tìm giá trị của b, c, x, y, z của phương trình sau đây

2·x¹¹ + b·y⁸ = c·z⁷

Cho biết a = 11/17

~~~~~Giải~~~~~

Quan sát

Phương trình

2·x¹¹ + b·y⁸ = c·z⁷

– Có 2 cơ số phải tìm là b và c, 3 biến số phải tìm x, y, z

– Có số mũ không bằng nhau, số mũ lớn 11

Ta nâng số mũ lên bằng 11

Nhóm đầu của phương trình 2·x¹¹ được giử nguyên

Nhóm 2 của phương trình b·y⁸ cần nâng lên 3 bậc, bằng cách mượn b một giá tri đủ để nâng số mũ của y lên 3 bậc

b·y⁸ = (b’·y³)y⁸ = b’·y¹¹

Nhóm 3 của phương trình phải nâng lên 4 bậc, bằng cách c phải nhượng cho z một giá tri đủ để nâng số mũ của z lên 4 bậc

c·z⁷ = (c’·z⁴)z⁷ = c’·z¹¹

Thay các giá trị mới vào phương trình gốc ta có

2·x¹¹ + b·y⁸ = c·z⁷

2·x¹¹ + b’·y¹¹ = c’·z¹¹

Viết lai phương trình mới về dạng Fermat

X¹¹+ Y¹¹ = Z¹¹

Đặt

X = ¹¹√2· x

Y = ¹¹√b’· y

Z = ¹¹√c’· z

Ta có

Áp dụng công thức

Ta có giá trị của a (a = 11/17) suy ra giá trị của b với phương trình bậc 11

Như vậy b’ phải bằng 33986584637022 hoặc bằng

mod (33986584637022)

Áp dụng công thức

Ta có giá trị của a = 2, ta phải tìm giá trị của b’, c’ của phương trình Fermat

¹¹√a = ¹¹√2 để giá trị của x là số nguyên, thì giá trị của c’ bằng giá trị của a và

z phải bằng mod 17, (z = 51)

¹¹√c’ = ¹¹√a = ¹¹√2

Thay các giá trị vào công thức tìm x

Giá trị của y

Thay các giá trị trên

Thông thường giá trị của b’ bằng tử số của b, nhưng ở đây, giá trị của c’ là số vô tỷ, muốn y là số nguyên thì giá trị của b’ phải bằng

b’ = 33986584637022 · 2

Trước khi trở lại phương trình chính, chúng ta phải trả lại những giá trị mượn, để tăng số mũ

Các giá trị của x, y, z không có gì thay đổi, chỉ trả lại các giá trị cho b và c vì trước đây ta có mượn của b, để nâng số mũ

b·y⁸ = (b’·y³)y⁸ = b’·y¹¹

suy ra b = b’·y³

b = 67973169274044·27 = 1835275570399188

Tương tự như trên, ta có mượn của c để nâng số mũ của z

c·z⁷ = (c’·z⁴)z⁷ = c’·z¹¹

suy ra giá trị của c

c = c’·z⁴

c = 2·51⁴ = 13530402

Thay các giá trị của b, c vào phương trình gốc của đề toán, ta có

2·x¹¹ + b·y⁸ = c·z⁷

2·x¹¹ + 1835275570399188·y⁸ = 13530402 ·z⁷

Thử lại

Thay các giá trị của x, y, z vào phương trình thử lại

Vế trái của phương trình

2·x¹¹ + 1835275570399188·y⁸ =

2·33¹¹ + 1835275570399188·3⁸ = 12142327230416526102

Vế phải của phương trình

13530402 ·z⁷ =

13530402 ·51⁷= 12142327230416526102

Những giá trị của x, y, z, đúng là nghiệm của phương trình ta phải tìm

Đáp số

Phương trình chúng ta muốn viết

2·x¹¹ + 1835275570399188·y⁸ = 13530402 ·z⁷

Giá trị x, y, z của phương trình trên là:

x = 33

y = 3

z = 51

….

còn nhiều giá trị khác

*) Giải phương trình khác số mủ, tìm giá trị x, y, z nguyên, khác 0

a·x²⁰⁰⁵ + b·y²⁰⁰⁷ = c·z²⁰⁰⁹

~~~~~ Giải ~~~~~

Phương trình có số mũ lớn, nhưng không phải vì thế, mà bó tay chịu thua, cứ từng bước một, ta sẽ giải quyết vấn đề :

Bước 1) Quan sát xem số mũ nào lớn nhất, số mũ trung bình, và số mũ nhỏ

a · x²⁰⁰⁵ + b · y²⁰⁰⁷ = c · z²⁰⁰⁹

Nhìn vào phương trình, ta thấy ngay 2009 là số mũ cao nhất, và 2005 là số mũ thầp nhất, cách nhau 4 bậc

– muốn nâng lên phải mượn a 4 bậc có giá trị bằng x

– muốn hạ xuống phải cho c 4 bậc có giá trị bằng z

Bước 2) Lập phương án nâng số mũ lên, hoặc hạ số mũ xuống

Phương án nào dể ta chọn : Nhìn vào phương trình ta thấy 2007 là số mũ giữa 2005 và 2009, ta chỉ cần nâng x lên 2 bậc, và hạ z xuống 2 bậc, theo phương án nầy, đơn giản hơn. Nếu có bạn nào muốn chọn 2005 làm chuẩn, rồi hạ các bậc của phương trình xuống, hoặc chọn 2009 làm chuẩn để tăng các bậc khác của phương trình lên, không có gì sai, miễn sao ta thấy thoải mái thì cứ làm

Bước 3) Cân bằng số mũ

Theo tôi thì số mũ 2007 làm chuẩn, nâng x lên 2 bậc, hạ z xuống 2 bậc như sau

a’ · x²⁰⁰⁷ + b · y²⁰⁰⁷ = c’ · z²⁰⁰⁷

Giá trị của a bây giờ chỉ còn là a’ vì đã cho x mượn 2 bậc, để nâng bậc của x lên 2007, còn giá trị của x không có gì thay đổi, ta nên nhớ a = a’· x² để khi giải xong phải trả lại (tương tự như làm bài toán trừ, khi mượn phải trả, nếu quên trả là trật lất)

Gia trị của c bây giờ tăng lên c’ vì vừa nhận của z 2 bậc, để số mũ của z hạ xuống còn 2007, giá trị của z không có gì thay đổi

Ta cũng nên nhớ c = c’/z² (z đã cho thì phải đòi lại)

Bước 4) Đưa về dạng Fermat Equation

Ta biết dạng của Fermat rất đơn giản như sau

Xⁿ + Yⁿ = Zⁿ

Ta phải đưa phương trình

a’ · x²⁰⁰⁷ + b · y²⁰⁰⁷ = c’ · z²⁰⁰⁷

về dạng phương trình Fermat

Đặt X = (²⁰⁰⁷√a’· x)

Y = (²⁰⁰⁷√b· y)

Z = (²⁰⁰⁷√c’· z)

Xⁿ + Yⁿ = Zⁿ

_ _ _

(²⁰⁰⁷√a’· x)²⁰⁰⁷ + (²⁰⁰⁷√b· y)²⁰⁰⁷ = (²⁰⁰⁷√c’· z)²⁰⁰⁷

Chúng ta đã hoàn tất bước 4

Bước 5) Tìm giá trị của cơ số a’, b, c’,

Sau khi a đã cho x mượn và c đã nhận thêm của z, chúng ta đã biết các giá trị của Diophantine Equations phải nguyên khác không, do đó ta tự do chọn

_

²⁰⁰⁷√a’ = 12 suy ra a’ = 12²⁰⁰⁷

_

²⁰⁰⁷√c’ = 1024 suy ra c’ = 1024²⁰⁰⁷

Riêng giá trị của ²⁰⁰⁷√b ta phải chọn giá trị của a rồi suy ra giá trị của b

a²⁰⁰⁷+ b²⁰⁰⁷= 1

Suy ra b = ²⁰⁰⁷√(1 – a²⁰⁰⁷)

để y nguyên thì giá trị của ²⁰⁰⁷√b bằng phần tử số của b, hoặc mod phần tử số, mình dùng chữ mod cho có vẻ khoa học, chứ nói theo kiểu bình dân là bội số của phần tử số …Do đó có vô số giá trị của b

Ta chọn a = 3/4 hoặc bất cứ tỷ số nào, miễn sao giá trị nằm giữa 0&1 (0 < a < 1)

Ta có b = ²⁰⁰⁷√(1 – a²⁰⁰⁷) = ²⁰⁰⁷√{1 – (3/4)²⁰⁰⁷}

Giá trị của b bằng phần tử số của b hay bội của tử số

²⁰⁰⁷√b = ²⁰⁰⁷√(4²⁰⁰⁷– 3²⁰⁰⁷) hay mod{²⁰⁰⁷√(4²⁰⁰⁷– 3²⁰⁰⁷)}

Suy ra b = {4²⁰⁰⁷– 3²⁰⁰⁷} hay mod{4²⁰⁰⁷– 3²⁰⁰⁷}

Bước 6) Áp dụng công thức

Tìm giá trị các biến số x, y, z của phương trình :

(²⁰⁰⁷√a’· x)²⁰⁰⁷ + (²⁰⁰⁷√b· y)²⁰⁰⁷ = (²⁰⁰⁷√c’· z)²⁰⁰⁷

Thay các giá trị của a’, b, c’ vào phương trình ta có

{12²⁰⁰⁷}· x²⁰⁰⁷ + {4²⁰⁰⁷– 3²⁰⁰⁷}· y²⁰⁰⁷ = {1024²⁰⁰⁷}· z²⁰⁰⁷

Từ công thức trên ta có

Chọn giá trị cua z để có x, và y nguyên z = 32

Và giá trị của y

Bước 7) Thử lại

Thông thường thì ta phải trả lại tất cả giá trị đã mượn, hoặc cho, để có lại số mũ đầu tiên của đề toán, rồi thay các giá trị vào phương trình để thử

a · x²⁰⁰⁵ + b · y²⁰⁰⁷ = c · z²⁰⁰⁹

Nhưng số mũ lớn, có thể máy tính không cho kết quả, nhưng số mũ có lớn đến hàng tiệu, hàng tỷ, hay đến vô cực, chúng ta cũng phải tìm cách thử lại, mới mong thuyết phục được người đọc

Nói tóm lại khi số mũ quá lớn, máy tính không làm việc được, thì ta dùng phương pháp bình dân để thử, ta vẫn giữ nguyên dạng Fermat ”xⁿ + yⁿ = zⁿ” để có số mũ của phương trình bằng nhau, xong ta thay giá trị của x, y, z vào 2 thời điểm liên tiếp n và n+1 mà phương trình không thay đổi, ta kết luận giá trị của x, y, z chính là giá trị của phương trình, khi n tiến đến vô cực,

{12²⁰⁰⁷}· x²⁰⁰⁷ + {4²⁰⁰⁷– 3²⁰⁰⁷}· y²⁰⁰⁷ = {1024²⁰⁰⁷}· z²⁰⁰⁷

Ta thử thay thế giá trị của x, y, z với n = 1 và n+1 = 2

Nếu phương trình trên không thay đổi thì giá trị của x,y, z chính là nghiệm của phương trình với số mũ 2007

{12¹}· x¹ + {4¹– 3¹}· y¹ = {1024¹}· z¹= 32768

{12¹}· 2048¹ + {4¹– 3¹}· 8192¹ = {1024¹}· 32¹= 32768

Và

{12²}·2048² + {4²– 3²}·8192²= {1024²}·32²

= 1073741824

Bước8) Trả lại những giá trị đã mượn và đòi lại những giá trị đã cho

Lúc trước ta có mượn của a để nâng x lên 2 bậc

a = a’· x² = 12²⁰⁰⁷· 2048²

a = 4194304·12²⁰⁰⁷

Lúc trước ta có cho c để hạ z xuống 2 bậc

c = c’/z² = 1024/32² = 1024/1024

c = 1

Thay các giá trị vừa tìm vào phương trình

a · x²⁰⁰⁵ + b · y²⁰⁰⁷ = c · z²⁰⁰⁹

{4194304·12²⁰⁰⁷}· x²⁰⁰⁵ + {4²⁰⁰⁷– 3²⁰⁰⁷}· y²⁰⁰⁷ = z²⁰⁰⁹

Giá trị các biến số của phương trình

Ở trên ta có mượn để tăng x lên 2 bậc, song giá trị của x không thay đổi, do đó giá trị của x là

x = 2048

Ta cũng có cho bớt giá trị của z để hạ xuống 2 bậc, nhưng giá trị của y không thay đỏi

y = 8192

Giá trị của z ta chọn để x và y nguyên khác không

ta có thể chọn vô số giá trị của z

z = 32

Bài toán tuy có khó, nhưng từng bước chúng ta đã giải quyết được các vấn đề

Phương trình muốn viết

{4194304·12²⁰⁰⁷}· x²⁰⁰⁵ + {4²⁰⁰⁷– 3²⁰⁰⁷}· y²⁰⁰⁷ = z²⁰⁰⁹

Có vô số giá trị của x, y, z

Song giá trị sau đây chỉ tiêu biểu

x = 2048

y = 8192

z = 32

….

Qua 8 bước trên, tôi nghỉ không có gì khó đối với các bạn trẻ, nếu các bạn trẻ, học sinh, sinh viên, chưa giải được những bài toán Diophantine Equations khác số mủ như dạng nầy, lỗi không phải ở các bạn dỡ toán, mà lỗi ở tôi không có trình độ trình bày rỏ ràng, mạch lạc, mong các bạn bỏ công tìm hiểu thêm. Trước đây trong quyển Fermat’s Last Theorem, tôi có đưa ra bài toán tương tự, rồi cho đáp số chứ không giải tỷ mỹ như thế nầy, để cho các nhà Toán học khắp Thế giới thấy rằng với số mũ lớn, mình có thể giải quyết được, trong lúc họ bị khựng lại ở những phương trình có số mũ 3 và 4

“E. S. Selmer, The Diophantine equation a · x³ + b · y³ + c · z³ = 0, Acta. Math. 85 (1951) 203-362 and 92 (1954) 191-197; MR 13,13i and 16,674e

L. J. Mordell, The diophantine equation A · x⁴ + B · y⁴ + C · z⁴ = 0, Proc. Cambridge Philos. Soc. 68 (1970) 125-128; MR 41 #3393.”

BÀI TẬP

Các bạn thử dùng công thức trên, giải các phương trình khác số mủ, theo phương pháp của tôi cho dù (1/p + 1/q + 1/r > 1) vẫn giải được như trường hợp (1/p + 1/q + 1/r < 1), không loại bỏ bất kỳ phương trình khác số mủ nào !

*) Viết phương trình có dạng

a · x¹⁰ + b · y⁷ = c · z⁴