Mấy tháng gần đây không có hứng thú để viết về DIOPHANTINE EQUATION, nên chỉ sắp xếp nhửng bài viết từ năn 2000 đến nay cho có thứ tự, theo từng loại, số mũ từ thấp lên cao. Trong lúc sắp xếp thấy bài toán Beal conjecture viết từ năm 2002, mà tôi thường giới thiệu đến quý vị và các bạn trẻ, muốn lấy 100,000 USD sài chơi, mà không giới thiệu đầy đủ, nên lần nầy xin gởi đầy đủ các địa chỉ liên lạc, có kèm phần chứng minh rất ngắn của tôi, gọi là chút hành trang cho các bạn trẻ lên đường làm toán. Nếu quý vị và các bạn trẻ thấy chứng minh không đúng hoặc thiếu sót, xin quý vị chỉ giáo cho, thành thật cảm ơn.
BEAL’S CONJECTURE: If Ax +By = Cz , where A, B, C, x, y and z are positive integers and x, y and z are all greater than 2, then A, B and C must have a common prime factor.
THE BEAL PRIZE. The conjecture and prize was announced in the December 1997 issue of the Notices of the American Mathematical Society. Since that time Andy Beal has increased the amount of the prize for his conjecture. The prize is now this: $100,000 for either a proof or a counterexample of his conjecture. The prize money is being held by the American Mathematical Society until it is awarded. In the meantime the interest is being used to fund some AMS activities and the annual Erdos Memorial Lecture.
CONDITIONS FOR WINNING THE PRIZE. The prize will be awarded by the prize committee appointed by the American Mathematical Society. The present committee members are Charles Fefferman, Ron Graham, and Dan Mauldin. The requirements for the award are that in the judgment of the committee, the solution has been recognized by the mathematics community. This includes that either a proof has been given and the result has appeared in a reputable refereed journal or a counterexample has been given and verified.
PRELIMINARY RESULTS. If you have believe you have solved the problem, please submit the solution to a reputable refereed journal. If you have questions, they can be mailed to:
The Beal Conjecture and Prize
c/o Professor R. Daniel Mauldin
Department of Mathematics
Box 311430
University of North Texas
Denton, Texas 76203
Questions and queries can also be FAXED to 940-565-4805 or sent by e-mail to
mauldin@unt.edu
Andy Beal là một thương gia lớn ở Dallas, Texas, có nhà băng “Beal Bank” và chủ tịch “Beal Aerospace Technologies”, nhà Tỷ phú Andy Beal rất mê toán và Poker, ông đã bỏ nhiều thời gian để chứng minh Fermat’s Last Theorem, trong khi đó ông đưa ra một Phương trình tương tự, nhưng số mủ không bằng nhau và lớn hơn 2.
Năm 1993 Andy Beal đã phát biểu như sau:
“BEAL’S CONJECTURE: If Ax +B y = C z , where A, B, C, x, y and z are positive integers and x, y and z are all greater than 2, then A, B and C must have a common prime factor”
Ví dụ
33 + 63 = 35
39 + 543 = 311
36 + 183 = 38
…………
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Chúng ta thử tìm hiểu về gỉa thuyết của Andy Beal bắt nguồn từ Định lý sau cùng của Fermat ? có khó không, nói đến khó dĩ nhiên là rất khó, nếu dễ thì các nhà Toán học đã giải rồi, có đâu tới mình. Nhưng với Phương pháp Bình dân ta có thể giải được, phương pháp Bình dân ở đây, có nghĩa là trình độ của chúng ta ai cũng đã học qua, có thể đọc hiểu và giải được, không cầu kỳ, không ra khỏi tầm hiểu biết cơ bản
Muốn giải bài toán trên, trước tiên ta phải đọc thật kỷ đề toán, đọc đi đọc lại nhiều lần để ghi các điều kiện đã cho như:
· “If Ax +B y = C z ”
· “A, B, C, x, y and z are positive integers”
· “x, y and z are all greater than 2,”
· “then A, B and C must have a common prime factor”
Đọc toàn bộ đề toán ta rút ra được 3 điều kiện để đi đến kết luận A, B, C nguyên dương chia đúng cho một số nguyên tố (Prime number)
Trở lại giả thuyết của Andy Beal với phương trình
Ax + By = Cz
Đây là một Diophantine Equation có điều kiện, nên rất khó vì cùng một lúc ta phải tìm A, B, C, và số mũ x, y, z, tổng cộng 6 ẩn phải tìm, điều kiện A, B, C nguyên dương, chia đúng cho một số nguyên tố, số mũ x, y, z, nguyên dương lớn hơn 2.
Thông thường phương trình Diophantus phải có số mũ trước, ta chỉ tìm 3 ẩn số A, B, C, nguyên mà đã thấy khó rồi
Đối với phương pháp Bình dân thì rất đơn giản, ta chọn bất kỳ giá trị của A, B, x và y nguyên dương và theo đúng các điều kiện của Beal conjecture cần có, sau đó ta đi tìm giá trị của C và z nguyên và đúng điều kiện đã nêu trên
Từ phương trình Ax + By = Cz
Suy ra giá trị của C
C = (Ax + By) 1/z
Để biết C có chia đúng cho A không ta viết lại như sau
C = Ax/z . [1+ (By/Ax)] 1/z Trường hợp đặc biệt của Beal Conjecture
x = y = z = n
Thì phương trình Ax + By = Cz
trở thành An + Bn = Cn
(n>2 đây chính là Fermat’s Last Theorem) và giá trị của C
C = An/n . [1+ (Bn/An)] 1/n C = A . [1+ (B/A)n] 1/n Không có gía trị của C nguyên với n > 2 xem phần chứng minh Fermat’s Last Theorem của Ran Van Vo, trong quyển Định lý sau cùng của Fermat, xuất bàn năm 2002 do đó C không có gía trị nguyên,
Vì [1+ (B/A)n] 1/n là số vô tỷ, không chính phương bậc n, cho dù B chia đúng cho A
Hay B ≡ modA, như ta đã chọn
theo giả thuyết của Beal, (gía trị của C phải nguyên)
Muốn C có giá trị nguyên ta phải có
Số mũ x, y, z lớn hơn 2, không bằng nhau
và C = Ax/z . [1+ (By/Ax)] 1/z là một số nguyên suy ra
*) Ax/z ta chọn A để có giá trị nguyên hay x ≡ modz
*) [1+ (By/Ax)] 1/z phải là số nguyên, ta đã chọn B ≡ modA, suy ra y x
Giá trị của C ta viết lại như sau
C ≡ (Amodz)1/z.(1+modA|y-x||)1/z là số chính phương bậc z
Tóm lại A, B, là số nguyên ta tự chọn, thì giá trị của C cũng nguyên được tính theo công thức sau đây
C ≡ (Amodz)1/z.(1+modA|y-x||)1/z
Và số mũ x, y, z nguyên dương lớn hơn 2
Tới đây ta có thể kết luận rằng
B và C chia đúng cho A
· nếu A là số nguyên tố (Prime number) thì A, B, C chia đúng cho số nguyên tố (A)
· nếu A không phải số nguyên tố, thì A phải chia đúng cho một số nguyên tố (2, 3, 5, 7, …) nhỏ thua A, suy ra B, C cũng chia đúng cho số nguyên tố đó
Ta có thể kết luận giả thuyết của Andy Beal “If Ax +B y = C z , where A, B, C, x, y and z are positive integers and x, y and z are all greater than 2, then A, B and C must have a common prime factor” là ĐÚNG Nếu chứng minh trên là đúng thì Beal conjecture trở thành Định lý của Beal “Beal’s Theorem” Ta thử áp dụng để giải các phương trình Diophantus thuộc dạng Beal conjecture có đạt kết quả tốt không ?
Nếu áp dụng không đạt được kết quả, có nghĩa là Định lý không áp dụng được trong toán học, hay nói cách khác Định lý thuộc về Toán mà không biết để làm gì ? thì có 2 vấn đề xãy ra
1) Ta chứng minh chưa được, hoặc sai
2) Dự đoán của Andy Beal chỉ là bài toán khó
Chúng ta thử áp dụng công thức
C ≡ (Amodz)1/z.(1+modA|y-x||)1/ztìm giá trị của A, B, C, x, y, và z theo điều kiện của Andy Beal
Ax + By = Cz
Ta thử làm các bài toán dưới đây:
1*)tìm giá trị của A, B, C nguyên chia đúng cho một số nguyên tố và số mũ x, y, z lớn hơn 2
Ax + By = Cz
ỨNG DỤNG
Giải
Áp dụng công thức
C ≡ (Amodz)1/z.(1+modA|y-x||)1/zĐể giải phương trình
Ax + By = Cz Ta có kết qủa sau
351811509616635 + 10736762898 = 6553415
Thử lại
Vế trái
351811509616635 + 10736762898 = 1.7660384391335017705152603622735e+72
vế phải
6553415 = 1.7660384391335017705152603622735e+72
A, B, C chia đúng cho 7 (prime number)
Đáp số
A = 35181150961663 x = 5
B = 1073676289 y = 8
C = 65534 z = 15
2*)tìm giá trị của A, B, C nguyên chia đúng cho một số nguyên tố và số mũ x, y, z lớn hơn 2
Ax + By = Cz
Áp dụng công thức
C ≡ (Amodz)1/z.(1+modA|y-x||)1/zĐể giải phương trình
Ax + By = Cz Ta có kết qủa sau 13107117 + 13107118 = 26214217
Thử lại ta có
13107117 + 13107118
= 1.3035339452737265751117827282387e+92
Và
26214217 = 1.3035339452737265751117827282387e+92
A, B, C chia đúng cho 131071 là số nguyên tố nhỏ nhất
Đáp số
A = 131071 x = 17
B = 131071 y = 18
C = 262142 z = 17
3*)tìm giá trị của A, B, C nguyên chia đúng cho một số nguyên tố và số mũ x, y, z lớn hơn 2
Ax + By = Cz
Giải
Áp dụng công thức
C ≡ (Amodz)1/z.(1+modA|y-x||)1/zĐể giải phương trình
Ax + By = Cz Ta có kết qủa sau
180141923518382073 + 687189524495 = 10485729
Thử lại
vế trái phương trình
180141923518382073 + 687189524495
= 1.5324429276097646271115779696648e+54
vế phải phương trình
10485729 = 1.5324429276097646271115779696648e+54
Đáp số:
A = 18014192351838207 x = 3
B = 68718952449 y = 5
C = 1048572 z = 9
4*)tìm giá trị của A, B, C nguyên chia đúng cho một số nguyên tố và số mũ x, y, z lớn hơn 2
Ax + By = Cz
Giải
Áp dụng công thức
C ≡ (Amodz)1/z.(1+modA|y-x||)1/zĐể giải phương trình
Ax + By = Cz Ta có kết qủa sau 596046442871093766 + 24414062413 = 122070312012
Thử lại
vế trái của phương trình
596046442871093766 + 24414062413 = 1.0947643714439035188147209479977e+109
vế phải của phương trình
122070312012 = 1.0947643714439035188147209479977e+109
Đáp số:
A = 59604644287109376, x = 6
B = 244140624 y = 13
C = 1220703120 z = 12
Các bài tập trên tìm giá trị của A, B, C, nguyên dương chia đúng cho số nguyên tố, cuả phương trình
Ax + By = Cz
với công thức
C ≡ (Amodz)1/z.(1+modA|y-x||)1/z
và số mũ cuả phương trình x, y, z nguyên dương lớn hơn 2 không gặp trở ngại
BEAL CONJECTURE MỞ RỘNG
Ta mở rông phương trình Diophantus thuộc dạng Beal conjecture với 2 mục đích
1) Xem phương trình mở rộng còn đúng với Beal conjecture ?
Av + Bx + Cy = Dz 2) Xem công thức mới tìm có xử dụng tốt với phương trình mở rộng không ?
C ≡ (Amodz)1/z.(1+modA|y-x||)1/z
Ta thử làm các bài toán dưới đây5*) Tìm giá trị của A, B, C, D, là số nguyên, chia đúng cho một số nguyên tố lớn hơn 1, các số mũ v, x, y, z, lớn hơn 2 của phương trình sau đây
Av + Bx + Cy = DzTa có
29543114712042133176255 + 1434890515 + 2058910746990258
= 4304671515
Thử lại cho chắc ăn
Vế trái
29543114712042133176255 + 1434890515 + 2058910746990258 =
3.2292392664539228870645959198561e+114
vế phải
4304671515 = 3.2292392664539228870645959198561e+114
A, B, C, D chia đúng cho 5 và số mũ lớn hơn 3
Đáp số
A = 2954311471204213317625 v = 5
B = 14348905 x = 15
C = 205891074699025 y = 8
D = 43046715 z = 15
….
Giải
Áp dụng công thức
C ≡ (Amodz)1/z.(1+modA|y-x||)1/z
BEAL CONJECTURE MỞ RỘNG
Ta tiếp tục mở rông phương trình Diophantus thuộc dạng Beal conjecture, cũng với 2 mục đích trên
1) Xem phương trình mở rộng còn đúng với Beal conjecture ?
Au + Bv + Cx + Dy = Ez 2) Xem công thức mới tìm có xử dụng tốt với phương trình mở rộng không ?
C ≡ (Amodz)1/z.(1+modA|y-x||)1/z
Ta thử làm các bài toán dưới đây
6*)Tìm giá trị nguyên của A, B, C, D, E chia đúng cho một số nguyên tố và số mũ u, v, x, y, z lớn hơn hoặc bằng 3 nghiệm đúng Phương trình sau đây
Au + Bv + Cx + Dy = Ez
~~~~~Giải~~~~~
Áp dụng công thức
C ≡ (Amodz)1/z.(1+modA|y-x||)1/z
mở rộng ta có
167526496 + 685685923574 + 409313 + 280651248517203 = 8186 12Thử lại
167526496 + 685685923574 + 409313 + 280651248517203
= 9.0544251667031588086146916874164e+46
Và
8186 12 = 9.0544251667031588086146916874164e+46
Đáp số
A = 16752649 u = 6
B = 68568592357 v = 4
C = 4093 x = 13
D = 28065124851720 y = 3
E = 8186 z = 12
Với những phương trình DIOPHANTUS có nhiều ẩn số (lớn hơn 14 ẩn số) thuộc dạng Beal conjecture cùng một lúc ta phải tìm vừa các ẩn số, vừa tìm số mũ nguyên dương, nếu ta dùng công thức của Beal conjecture hơi khó
C ≡ (Amodz)1/z.(1+modA|y-x||)1/z
Do đó tôi thay thế bằng 3 công thức sau, nói đến công thức phải có chứng minh? Đúng vậy nhưng
Một trong 3 công thức đó là
Tất cả các phương pháp và ký hiệu nầy đã có từ ngàn xưa, ta có học cho biết rồi bỏ qua, nên
không cần chứng minh lại, nó đương nhiên như 5 + 5 = 10,. … tôi chỉ tân trang lại ít thôi, nên
đôi khi quý vị thấy như viết sai … Tất cả là phương pháp Bình dân có dịp sẽ bàn sau, ta thử áp
dụng xem công thức có tốt không?
Thử làm các bài toán dưới đây
7*)Tìm giá trị nguyên của A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, chia đúng cho số nguyên tố và số mũ p, q, r, s, t, u, v, x, y, z lớn hơn hoặc bằng 3 nghiệm đúng Phương trình sau đây
Ap + Bq + Cr + Ds + Et + Fu + Gv + Hx + Iy = Jz
~~~~~Giải~~~~~
Phương Trình Diophantus:
Ap + Bq + Cr + Ds + Et + Fu + Gv + Hx + Iy = Jz
Có 10 ẩn số A, B, ….J và 10 số mũ phải tìm tất cả nguyên dương, số mũ lớn hơn 2, tổng cộng 20 ẩn số phải tìm. Ta áp dụng một trong 3 công thức sau đây, có nghĩa là ứng dụng công thức nào cũng được, song mỗi công thức cho kết quả khác nhau
Ta có kết quả sau
3874204898 + 8136+ 656118 + 430467219 + 53144112+ 2824295364816 + 72924+ 1500946352969991214+ 797664430768725098633613 = 3146
Thử lại
Vế trái của phương trình
3874204898 + 8136+ 656118 + 430467219 + 53144112+ 2824295364816 + 72924+ 1500946352969991214+ 797664430768725098633613
= 4.5677590745077404064777874376753e+69
vế phải phương trình
3146 = 4.5677590745077404064777874376753e+69
Đáp số
A = 387420489 p = 8
B = 81 q = 36
C = 6561 r = 18
D = 43046721 s = 9
E = 531441 t = 12
F = 282429536481 u = 6
G = 729 v = 24
H = 150094635296999121 x = 4
I = 79766443076872509863361 y = 3
J = 3 z = 146
….
Nếu ta tiếp tục mở rộng phương trình Diophantus đến hàng trăm ẩn số, thì các công thức trên có đạt được yêu cầu không? Xin thưa rằng được, có thế các bạn trẻ mới biết đồ cỗ tốt lắm, đừng chê, dịp nào rảnh sẽ bàn sau.
KẾT LUẬN
Kính thưa quý vị và các bạn trẻ chứng minh trên đây là chứng minh theo kiểu Toán học Bình dân, nên có vẻ cục nịch, chỉ một vài trang có thể làm tối nghĩa, hoặc thiếu sót nhiều, lối chứng minh nầy không hợp thời trang. Chính tôi đọc lại cũng thấy hơi quê, nên phải viết them nhiều bài toán cho nó dài ra, cũng chưa đủ, tôi lại tiếp tục mở rộng.
Nếu các bạn có làm toán gởi đi, thì chỉ cần chứng minh, chứ không cần mở rộng, nhưng chứng minh phải dài ít nhất vài trăm trang, văn phong trôi chảy, bay bướm, sẽ làm cho người đọc cảm tình ngay, hay nói cách khác là giám khảo dễ đồng thuận.
Nói về cách chứng minh thì các bạn chứng minh thế nào, càng ít người hiểu thì chứng minh đó mới có giá trị càng cao, không phải tôi xúi các bạn vào chổ nguy hiểm hay tù tội, mà là chuyện nên làm, bạn cứ nghỉ xem, khi bạn viết thư lên mạng, sau đó có ai phúc đáp lại là bạn thấy vui ngay. Từ đấy suy ra nhà Toán học Andy Beal đưa ra một thách thức về Toán học mà có người hồi đáp là ông rất vui, chứ không phải ông sợ mất tiền để thưởng đâu! Một trăm ngàn đô đối với nhà tỷ phú như trăm đồng thôi, mà tên tuổi của ông được lưu mãi về sau. Đúng vậy các tỷ phú Hoa kỳ muốn có tên tuổi của mình được lưu về sau, họ phải bỏ ra hàng trăm triệu đô, vận động ứng cử vào những chức vụ cao cuả chính phủ …Thậm chí nhà tỷ phú Bill Gate bỏ ra hàng chục tỷ đô la, để lập quỷ từ thiện giúp đở người nghèo, bệnh tật, các học sinh giỏi cuả các nước nghèo, v.v. mới có tên tuổi như hiện nay.
Tôi nói như vậy để các bạn trẻ tin tưởng, phần thưởng đến với các bạn không khó, các bạn cứ thử đi, nếu chứng minh sai, thì cũng không có gì xấu hổ, hay mắc cở, vì các nhà Toán học làm không được, thì mình làm không được là chuyện đương nhiên
Chúc các bạn trẻ sẽ thành công, mang lại niềm tự hào cho dân tộc Việt nam
Võ Văn Rân
