Toán Học Bình Dân

Cảm ơn độc giả của Việt thức có ý kiến về Diophantine Equation phần 9, mong được đón nhận nhiều ý kiến đóng góp sau mỗi bài viết, để lần trình bày kế tiếp được đầy đủ hơn, đó là niềm vui của người viết: “Toi nhin vao thi khong hieu gi ca. ma cung khong doc no^?i. Tac gia co the nao cho thi du, ap dung quy luat nay vao doi song binh dan thuong ngay de cho toi hieu duoc khong?”  Câu hỏi thật đơn sơ, nhưng muốn trả lời để độc giả vừa đủ hiểu, cũng không phải dễ, vì cần có thời gian, phải qua nhiều giai đoạn, hơn nửa sự hiểu biết của tôi rất giới hạn, do đó xin khất lại lần sau, sẽ trình bày tỷ mỷ hơn, trong phạm vi hiểu biết của tôi, hy vọng độc giả sẽ hài lòng, không thấy khó khăn vì có những ứng dụng cụ thể cho những vấn đề hiện tại, chỉ sợ khi độc giả muốn quên, không thể quên được thôi.

 
PHƯƠNG TRÌNH BẬC 1 CÓ 2 ẨN SỐ       

 Bây giời chúng ta cùng tìm hiểu thêm về Diophantine Equation bậc nhất thật kỷ, để làm nền tảng cho các bài toán bậc hai, bậc ba, đến bậc n (n có thể tiến đến vô cực) sau nầy, những bài toán bậc nhất, mà tiền nhân ta đã xử dụng rất thành thạo, như bài toán “100 trâu ăn 100 bó cỏ” của các Cụ ông khi trà dư tữu hậu hay bài toàn “đi chợ phiên” của các Cụ bà tính nhẫm trên đường đi đến chợ ngày xưa, ngày nay các bạn học sinh, sinh viên giải thử, mới biết các Cụ ta ngày xưa giỏi toán thế nào!

 
Đi chợ phiên

Em đi chợ phiên
Cho gởi một tiền(*)
Mua cam cùng quýt
Món ít, món nhiều
Mua đủ một trăm
Cam ba đồng một
Quýt một đồng năm
Thanh yên tươi tốt
Năm đồng một trái…

(*) 1 tiền = 60 đồng

Bài toán dưới đây, tương tự như bài  chợ Tết

 

Cưới vợ

Nhà anh đã khó gặp khăn
Chỉ vài đồng bạc để dành cưới em
Ba hào anh để mua nem
Đãi anh em bạn, chị em xa gần
Đồn đây kết nghĩa Châu Trần
Từ nam chí bắc đồn mình lấy ta
Ba hào anh để mua gà
Bảy xu mua vỏ, hào ba mua trầu
Năm xu anh để mua cau
Hào rưỡi mua chén chè tàu uống chơi
Một hào đong rượu thổi xôi
Năm xu mua rượu cùng ngồi say sưa
Anh về anh tính cũng vừa
Cưới em đồng bạc còn vừa mười xu
Tiền xe, tiền pháo lu bù
Hết chín hào chín, một xu hãy còn
Để dành làm vốn cho con
Mua gà bán lãi vốn còn một xu

 

PHƯƠNG TRÌNH BẬC 1 CÓ 3 ẨN SỐ       

Ở trên ta đã làm quen các bài toán với phương trình bậc nhất có hai ẩn số x và y, như các bài toán “100 trâu ăn 100” bó cỏ, hay bài toán “đi chợ phiên” còn gọi là DIOPHANTINE EQUATIONS, nếu cứ làm đi, làm lại các bài toán tương tự như vậy sẽ nhàm chán, buồn tẻ, không có gì mới mẻ, để tao hứng khởi cho các bạn trẻ, do đó tôi dựa theo bài toán “100 trâu ăn 100 bó cỏ” để viết những bài toán có nhiều ẩn số hơn 2, và số lượng vế phải cũng lớn hơn 100 như bài toán đã giới thiệu lần trước trên Việt thức

Nông dân dùng 1001 Trâu,
bò cày xới 1001 công đất
Trâu đực 1con cày 3 công đất
Trâu cái 3 con cày 4 công đất
Bò đực 2 con cày 5 công đất
Bò cái 4 con cày 3 công đất
Hỏi mỗi loại có mấy con ?
                                   ___

        
Giải

Gọi         TĐ  = Trâu đực

               TC  = trâu cái

               BĐ =  bò đực

               BC = bò cái

                 C  = Công đất

Theo đề chúng ta có:

 
Nhóm 1

                                         2TĐ cày 6C

                                       16BC cày 12C

                                       ——————

              Cộng lại ta có   18 TĐ và BC tương đương với 18C  (1)

 
Nhóm 2

                                           2BĐ cày 5C

                                         12BC cày 9C

                                          ——————

                Cộng lại ta có   14 BĐ và BC tương đương với 14C  (2)

 

 

Nhóm 3

                                              3TC cày 4C

                                              4BC cày 3C

                                             ——————

                      Cộng lại ta có   7 TC và BC tương đương với 7C  (3)

 Từ (1), (2) và (3) ta viết phương trình tương đương sau đây

0mod(4BC+3TC) +0mod(12BC+2BĐ)+0mod(16BC+2TĐ)   ≡ 1001 (4)

  và          0mod(3C+4C) + 0mod(9C+5C) + 0mod(12C+6C) ≡ 1001

                                    0mod(7C) + 0mod(14C) + 0mod(18C) ≡ 1001 (5)

 Giải phương trình (5)  có nghĩa là ta thay thế các modum vế trái thế nào để tương đương với 1001 vế phải

Lần 1

                                   0mod(7C) + 0mod(14C) + 0mod(18C) ≡ 1001

                                                      35(7C) +9(14C) + 35(18C) ≡ 1001

                                                             245C + 126C + 630C  ≡ 1001

 Thay giá trị modum trên với Phương trình (4) để tìm trâu bò các loại

 0mod(4BC+3TC) +0mod(12BC+2BĐ)+0mod(16BC+2TĐ)   ≡ 1001

              35(4BC+3TC) + 9(12BC+2BĐ) + 35(16BC+2TĐ)   ≡ 1001

                140BC+105TC + 108BC+18BĐ + 560BC+70TĐ   ≡ 1001

                                        808BC + 105TC + 18BĐ + 70TĐ   ≡ 1001

 Ta thấy số công đất và trâu bò tương đương nhau (1001), đúng theo yêu cầu của đề toán

 
Đáp số:

                                         808BC + 105TC + 18BĐ + 70TĐ   ≡ 1001

 Lần 2

Tương tự  phương trình (5), ta thay thế các modum vế trái thế nào để tương đương với 1001 vế phải

 

                                  0mod(7C) + 0mod(14C) + 0mod(18C) ≡ 1001

                                                     65(7C) +3(14C) + 28(18C) ≡ 1001

                                                              455C + 42C + 504C  ≡ 1001

 Thay giá trị modum trên với Phương trình (4) để tìm trâu bò các loại

 0mod(4BC+3TC) +0mod(12BC+2BĐ)+0mod(16BC+2TĐ)   ≡ 1001

              65(4BC+3TC) + 3(12BC+2BĐ) + 28(16BC+2TĐ)   ≡ 1001

                   260BC+195TC + 36BC+6BĐ + 448BC+56TĐ   ≡ 1001

                                          744BC + 195TC + 6BĐ + 56TĐ   ≡ 1001

 Ta thấy số công đất và trâu bò tương đương nhau (1001), đúng theo yêu cầu của đề toán

Đáp số:

                                        744BC + 195TC + 6BĐ + 56TĐ   ≡ 1001

 Lần 3

Tương tự  phương trình (5) trên ta thay thế các modum vế trái thế nào để tương đương với 1001 vế phải 

                              0mod(7C) + 0mod(14C) + 0mod(18C) ≡ 1001

                                                  (7C) +17(14C) + 42(18C) ≡ 1001

                                                           7C + 238C + 756C  ≡ 1001

 Thay giá trị modum trên với Phương trình (4) để tìm trâu bò các loại

 0mod(4BC+3TC) +0mod(12BC+2BĐ)+0mod(16BC+2TĐ)   ≡ 1001

                (4BC+3TC) + 17(12BC+2BĐ) + 42(16BC+2TĐ)   ≡ 1001

                       4BC+3TC + 204BC+34BĐ + 672BC+84TĐ   ≡ 1001

                                            880BC + 3TC + 34BĐ + 84TĐ   ≡ 1001                                             

  Ta thấy số công đất và trâu bò tương đương nhau (1001), đúng theo yêu cầu của đề toánĐáp số:

                                           880BC + 3TC + 34BĐ + 84TĐ   ≡ 1001

Lần 4

Tương tự  phương trình (5) trên ta thay thế các modum vế trái thế nào để tương đương với 1001 vế phải

                                 0mod(7C) + 0mod(14C) + 0mod(18C) ≡ 1001

                                                   9(7C) +22(14C) + 35(18C) ≡ 1001

                                                            63C + 308C + 630C  ≡ 1001

 
Thay giá trị modum trên với Phương trình (4) để tìm trâu bò các loại

 
0mod(4BC+3TC) +0mod(12BC+2BĐ)+0mod(16BC+2TĐ)   ≡ 1001

              9(4BC+3TC) + 22(12BC+2BĐ) + 35(16BC+2TĐ)   ≡ 1001

                   36BC+27TC + 264BC+44BĐ + 560BC+70TĐ   ≡ 1001

                                          860BC + 27TC + 44BĐ + 70TĐ   ≡ 1001                                            

 Ta thấy số công đất và trâu bò tương đương nhau (1001), đúng theo yêu cầu của đề toán

Đáp số:

                                           860BC + 27TC + 44BĐ + 70TĐ   ≡ 1001                                             

                      Đáp số 1:

 Trâu đực:           70 con               Trâu cái:             105 con

Bò đực:              18 con               Bò cái:                808 con

 

                      Đáp số 2:

 Trâu đực:           56 con               Trâu cái:             195 con

Bò đực:              6 con                 Bò cái:                744 con
 

                       Đáp số 3

 Trâu đực:           84 con               Trâu cái:             3 con

Bò đực:              34 con               Bò cái:                880 con

 

                       Đáp số 4

 Trâu đực:           70 con               Trâu cái:            27 con

Bò đực:              44 con               Bò cái:                860 con

   

 Giải phương trình tương đương trên chúng ta có nhiều đáp số khác

Những bài toán tương tự

 
1*) Nông dân dùng 1001 Trâu, bò cày xới 1001 công đất

       Trâu đực 1 con cày 2 công đất

       Bò đực 3 con cày 5 công đất

       Trâu cái 4 con cày 7 công đất

       Bò cái 6 con cày 5 công đất

       Hỏi mỗi loại có mấy con ?

 
 2*) Nông dân dùng 1001 Trâu, bò cày xới 1001 công đất

       Trâu đực 2 con cày 3 công đất

       Bò đực 2 con cày 5 công đất

       Trâu cái 4 con cày 7 công đất

       Bò cái 8 con cày 7 công đất

       Hỏi mỗi loại có mấy con ?

  
3*) Nông dân dùng 1001 Trâu, bò cày xới 1001 công đất

       Trâu đực 1 con cày 4 công đất

       Bò đực 2 con cày 5 công đất

       Trâu cái 1 con cày 2 công đất

       Bò cái 8 con cày 5 công đất

       Hỏi mỗi loại có mấy con ?

 
4*) Nông dân dùng 1001 Trâu, bò cày xới 1001 công đất

       Trâu đực 2 con cày 5 công đất

       Bò đực 1 con cày 2 công đất

       Trâu cái 3 con cày 4 công đất

       Bò cái 3 con thay phiên cày 2 công đất

       Hỏi mỗi loại có mấy con ?

 
5*) Nông dân dùng 1001 Trâu, bò cày xới 1001 công đất

       Trâu đực 2 con cày 5 công đất

       Bò đực 5 con cày 11 công đất

       Trâu cái 7 con cày 13 công đất

       Bò cái 7 con thay phiên cày 4 công đất

       Hỏi mỗi loại có mấy con ?

 
6*) Nông dân dùng 1001 Trâu, bò cày xới 1001 công đất

       Trâu đực 3 con cày 7 công đất

       Bò đực 1 con cày 2 công đất

       Trâu cái 5 con cày 9 công đất

       Bò cái 7 con thay phiên cày 5 công đất

       Hỏi mỗi loại có mấy con ? 

 

PHƯƠNG TRÌNH BẬC 1 CÓ 4 ẨN SỐ       

Cũng dựa vào bài toán 100 trâu ăn 100 bó cỏ để viết những bài toán có nhiều ẩn số hơn 3 và số lượng vế phải lớn hơn 100 như các bài toán sau đây sau đây.

Nhưng khó là viết thế nào cho bài toán có nghiệm, nếu viết bài toán vô nghiệm, mất công người giải, làm mất niềm tin, nên phải theo một phương pháp nhất định, sau khi viết xong bài toán, biết chắc chắn là có nghiệm, nhưng không biết bài toán có bao nhiêu nghiêm, và giá trị của mỗi nghiệm là bao nhiêu, muốn biết cũng phải ngồi xuống giải như quý vị, nên có những bài toán có đáp số, và có những bài không, mong quý vị thông cảm cho …

                       
7*)     Quà Trung Thu

Có 1000 phần quà cho 1000 em

Ban tổ chức chia thiếu nhi làm 5 nhóm

Nhóm 1: 10 em lãnh 7 phần

Nhóm 2:  5 em lãnh 6 phần

Nhóm 3: 11 em lãnh 13 phần

Nhóm 4: 3 em lãnh 4 phần

Nhóm 5: 4 em lãnh 3 phần

Hỏi mỗi nhóm có mấy em

 
Đáp số :

 

      N 1:       250 em          175 quà

      N 2:       125 em          150 quà

      N 3:       275 em          325 quà

      N 4:       150 em          200 quà

      N 5:       200 em          150 quà
——————————————-
Tổng cộng  1000 em  và  1000 quà

 
Bài toán còn nhiều đáp số khác

 
 8*)   Quà Trung Thu

Trung thu mua sẳn nghìn quà

Thiếu nhi cuả xã, cũng là nghìn em

Mười lăm, mười bảy tròn trèm

Tám em lãnh bảy, phần thêm không còn

Mười hai, mười bốn, tuổi tròn

Số quà được lãnh, năm con bốn phần

Tuổi từ mười một đến mười

Mười em lãnh một cộng mười cân phân

Từ năm đến chín tủi thân

Ba em chỉ được bốn phần quà trao

Thiếu nhi còn lại em nào

Năm em được nhận, quà trao sáu phần

Mời vào, giải thử xem sao

Thiếu nhi mỗi hạng có bao nhiêu người ?

 

Đáp số :

Tuổi từ 15 – 17       480 em          420 quà

Tuổi từ 12 – 14       100 em            80 quà

Tuổi từ 11 – 10       200 em          220 quà

Tuổi từ 5  –  9         120 em          160 quà

Thiếu nhi còn lại     100 em          120 quà

—————————————————

Tổng cộng             1000 em  và  1000 quà

 
Còn nhiều đáp số khác mời các bạn tìm xem

Kính mời quý thi sĩ sửa lại bài thơ trên, mới là tỷ dụ, muốn viết sao cũng được, miễn giử đúng các số liệu, cho dù bài toán có hắc búa đến đâu, đọc lên vẫn thấy thơ mộng, mà thơ càng hay, độc giả càng thích đọc, do đó thi sĩ rất quan trong, không thể thiếu trong Toán Học Bình Dân kính đa tạ

 

PHƯƠNG TRÌNH BẬC 1 CÓ 14 ẨN SỐ       

 
9*) 15 toán thợ gặt xuống đồng gặt luá

Toán thứ 1        5 người gặt được 8 dạ luá

Toán thứ 2        3     –       –     –      4 –    –     

Toán thứ 3        9     –       –     –    11 –    –

Toán thứ 4        6     –       –     –      7 –    –    

Toán thứ 5        7     –       –     –      8 –    –     

Toán thứ 6      13     –       –     –    17 –    –     

Toán thứ 7        5     –       –     –      3 –    –     

Toán thứ 8      10     –       –     –     11 –    –     

Toán thứ 9      12     –       –     –     13 –    –     

Toán thứ 10      9     –       –     –     17 –    –      

Toán thứ 11      3     –       –     –       8 –    –      

Toán thứ 12      4     –       –     –       9 –    –      

Toán thứ 13    15     –       –     –     16 –    –       

Toán thứ 14      2     –       –     –       3 –    –       

Toán thứ 15      4     –       –     –       5 –    –      

 
Tìm xem mỗi toán thợ gặt có bao nhiêu người để số thợ gặt và số dạ lúa bằng nhau

Cho biết số dạ luá tương đương với 0mod100

  

ĐÁP SỐ

                      Thợ gặt                    Dạ luá

Toán thứ 1        10     thợ gặt       16  dạ luá

Toán thứ 2          6     –       –          8 –    –    

Toán thứ 3          9     –       –        11 –    –

Toán thứ 4        12     –       –        14 –    –    

Toán thứ 5        14     –       –        16 –    –     

Toán thứ 6        26     –       –        34 –    –     

Toán thứ 7      200     –       –      120 –    –     

Toán thứ 8        20     –       –         22 –    –      

Toán thứ 9        24     –       –         26 –    –      

Toán thứ 10        9     –       –         17 –    –      

Toán thứ 11      12     –       –         32 –    –     

Toán thứ 12      16     –       –         36 –    –      

Toán thứ 13     30     –       –          32 –    –      

Toán thứ 14       4     –       –            6 –    –      

Toán thứ 15       8     –       –          10 –    –      

——————————————————-

                       400 thợ gặt         400 dạ lúa

Còn nhiều đáp số khác các bạn tìm thử

 
PHƯƠNG TRÌNH BẬC 1 CÓ 24 ẨN SỐ          

 
10*) Có 1002 công đất với 25 toán thợ cày

Toán thứ 1      27 thợ cày, cày   32 công đất      

Toán thứ 2      33      –       –    –   39  –    –    

Toán thứ 3      27     –       –     –    30 –    –      

Toán thứ 4      17     –       –     –    20 –    –    

Toán thứ 5      19     –       –     –    23 –    –     

Toán thứ 6      21     –       –     –    26 –    –     

Toán thứ 7      27     –       –     –    28 –    –  

Toán thứ 8      10     –       –     –    11 –    –     

Toán thứ 9      23     –       –     –    25 –    –     

Toán thứ 10    25     –       –     –    27 –    –      

Toán thứ 11    23     –       –     –    26 –    –      

Toán thứ 12    15     –       –     –    17 –    –

Toán thứ 13    29     –       –     –    32 –    –      

Toán thứ 14    31     –       –     –     35 –    –      

Toán thứ 15      3     –       –     –       7 –    –      

Toán thứ 16      7     –       –     –     11 –    –      

Toán thứ 17      9     –       –     –     14 –    –      

Toán thứ 18    17     –       –     –     22 –    –      

Toán thứ 19    19     –       –     –     24 –    –      

Toán thứ 20    23     –       –     –     28 –    –      

Toán thứ 21      8     –       –     –       9 –    –      

Toán thứ 22    29     –       –     –     35 –    –      

Toán thứ 23    31     –       –     –     37 –    –      

Toán thứ 24      7     –       –     –       8 –    –      

Toán thứ 25      4     –       –     –       3 –    –

 Tìm xem mỗi toán thợ cày có bao nhiêu người để số thợ cày và số công đất bằng nhau

PHẦN KẾT

Toán Học Bình Dân là một vấn đề lớn cuả Dân Tộc Việt Nam, nên không thể do một người, hay một nhóm, mà phải có sự đóng góp, giúp đở cuả mọi thành phần trong xã hội, nhất là các độc giả có quan tâm đến Toán học, Giáo sư, Luật sư, Tiến sĩ , Văn sĩ, Thi sĩ, quý bạn trẻ Học sinh, Sinh viên trong cũng như ngoài nước, ai cũng có thể đóng góp sức mình để nâng cao Toán Học Bình Dân ngang tầm với nền Toán Học Tiên Tiến ngày nay, chứ không đòi hỏi quý vị phải thật giỏi toán mới đóng góp được. Như thi sĩ chỉ biết làm thơ, vẫn đóng góp tích cực được, trong Toán học bình dân, mà không có thơ, là đã thiếu một nữa …
Phương trình bậc 1 với 2 ẩn số, đã khó như các bài toán “100 Trâu…” hay “đi chợ  phiên” nhưng phương trình bậc 1 không dừng lại ở đó, mà nó tiến lên 3, 4, 5 ẩn số hay đến hàng chục hàng trăm ẩn số thì  rất khó.
Tóm lại cứ tiếp tục như vậy ta sẽ có những bài toán lên đến hàng trăm ẩn số, nhưng thời gian và tuổi tác không cho phép ngồi lâu trước máy, xin tạm dừng Phương trình bậc 1 ở đây, khi nào cần chúng ta lại tiếp tục thêm, những bài sắp tới chúng ta sẽ bàn về các phương trình Diophantus bậc 2, 3, 4 …

VÕ VĂN RÂN