Kính thưa TS Lưu Nguyễn Đạt, cùng quý độc giả
Năm 2009, có người bạn ở Úc châu gởi cho 2 bài toán, kèm theo email có những bài thơ xướng họa, không những tuyệt vời, mà tác giả các bài thơ xướng họa rất giỏi toán, đúng như ông bà ta nói, trong thơ có toán, trong toán có thơ, THƠ và TOÁN là hai chất liệu không thể thiếu trong mỗi người Việt nam chúng ta. Từ lúc sinh ra cho đến khi gìa chết, ai ai cũng biết dùng toán để mưu cầu sinh kế, tiến thân, bảo vệ hạnh phúc gia đình, phục vụ xã hội, … Có nhiều người sử dụng toán thành thạo đến nỗi, họ nghĩ rằng công việc họ đang làm, không liên quan gì đến toán cả, như một thương gia giàu có, họ phải suy nghỉ, tính toán bù đầu bù óc, chứ đâu phải tự nhiên giàu có. Nhà văn, Thi sĩ, Nhạc sĩ, Họa sĩ, Điêu khắc gia, Luật gia, Triết gia, Chính trị gia, Quân sư, v. v. .. họ tính toán, dồn hết trí tuệ, tâm huyết để giải quyết một vấn đề, hay hoàn tất một tác phẩm tuyệt vời, để lại cho con cháu mai sau, họ không nghỉ rằng việc làm đó có liên quan đến toán.
Cụ Trạng Trình tính toán để biết đến tương lai hàng trăm, hàng ngàn năm sau, người đời thường nhớ đến Cụ qua “Sấm Trạng Trình”, Cụ Nguyễn Du với truyện Kiều, hay đến nỗi người ta ví “Truyện Kiều còn, tiếng Việt còn”. Cụ phân vân không biết ba trăm năm sau có ai khóc Tố Như, hay nói đúng hơn thiên hạ, có ai còn nhớ đến Cụ không!
“Bất tri tam bách dư niên hậu
Thiên hạ hà nhân khóc Tố Như”
Chỉ qua 2 câu thơ nầy, ta thấy Cụ Nguyễn Du có lo xa, có tính toán đấy chứ!
Lần trước tôi xin phép tác giả các bài thơ để đưa lên khoa hoc và đời sống, lần nầy xin phép quý bạn cho tôi chuyển các bài thơ đến vietthuc, để quý độc giả thưởng thức, tài nghệ thơ phú của các bạn, đồng thời độc giả cùng tham gia làm toán và xướng họa cho vui, môn toán đâu phải khô khan như người ta tưởng, nếu các bạn là những chuyên gia, biên soạn chương trình sách giáo khoa toán, thì môn toán nó cũng tươi mát, không kém các môn văn thơ, sử địa là mấy!
Mặc khác tôi cũng rất vui mừng, khi được độc giả góp ý kiến trong bài Ứng Dụng “Toán Học Bình Dân” trong một Phương trình 2 ẩn số, ngày 1/3 /2010 trên vietthuc, khi giải đáp bài toán “100 trâu ăn 100 bó cỏ” có phần hơi tối nghĩa, để đáp lại thịnh tình của quý độc gỉa, xin được trình bày đầy đủ hơn trong 2 bài toán tương tự như sau
Bài 1:
Trai lỡ lứa 5 đứa một đồng,
Gái chưa chồng, 5 đồng một đứa,
Con nít nằm ngửa, 2 đứa 5 đồng.
Tôi giờ có tấm giấy “cents” (100 đồng)
Muốn mua trăm đứa, chia “đồng” ra sao?
Thông thường 3 ẩn số phải có 3 phương trình chúng ta mới giải được, ở đây 3 ẩn số là Trai, Gái và Con nít mà chỉ có 2 phương trình
Phương trình 1
(1đứa) x Trai + Gái + con Nít = 100 đứa
Phương trình 2
(1đồng) x 1/5xTrai + 5xGai + 5/2xconNit = 100 đồng
Cách giải 1
Gọi trai = x, gái = y, con nít= z
viết phương trình:
x + y + z = 100
1/5x + 5y + 5/2 z = 100
(Nhân phương trình dưới với 10) trừ (pt trên nhân với 2) để loại bớt x :
2x + 50y + 25z = 1000
– (2x + 2y + 2z = 200)
————————————————–
48y + 23z = 800
Ta có phương trình bậc nhất chứa 2 ẩn số y và z
48y + 23z = 800 (1)
Suy ra y = (800 – 23z)/48
Phương trình (1) còn gọi là Diophantine Equation chúng ta chưa học cách giải, nếu các cơ số cuả phương trình (1) nhỏ thì ta còn tính nhẫm, hay lần lược thay thế các giá trị của z để tìm y, nhưng ở đây các số lớn, nếu ngồi tính nhẫm cũng ra đáp số, vì phải tốn nhiều thời gian, nên ta qua cách giải 2
Cách giải 2
Gọi
con Gái = G
con Nít = N
Nhóm 1:
1G giá 5 – –
Nhóm 2:
8N giá 20 đồng
15T giá 3 –
8N + 15T bằng 23 đứa tương đương 23 đồng (2)
Chủ nhân ông có 100 đồng muốn mua được 100 đứa
và 0 mod 6 + 0 mod23 ≡ 100 đồng
Giải phương trình tương đương
ta thay thế modum thế nào để vế trái cọng đủ 100 đứa
tương đương vế phải 100 đồng,
dựa vào phương trình tương đương “đồng”
0 mod 6 + 0 mod23 ≡ 100 đồng
Thay thế modum nhóm thứ nhất là 9
Và modum nhóm nhì là 2 của phương trình dưới ta có
0mod(5T +1G) + 0mod(8N+15T) ≡ 100 Đứa
9(5T +1G) + 2(8N+15T) ≡ 100 Đứa
45T + 9G + 16 N + 30 T ≡ 100 Đứa
Suy ra 9 G + 16 N + 75T ≡ 100 Đứa
Ta thử lại có đủ 100 đồng không
9 G x 5 = 45
16 N x 5/2 = 40
75T x 1/5 = 15
————————————-
100 đứa tương đương 100 đồng
Đáp số
Trai 75 đứa
Gái 9 –
Con nít 16 –
….
Các bạn tìm xem còn nghiệm nào khác không? Thông thường có nhiều ẩn số
Bài 2
Trăm con trâu, ăn trăm bó cỏ
Trâu đứng ăn 5
Trâu nằm ăn 3
Trâu già 3 con ăn một bó
Bài hai phương trình ba ẩn số
Những mong ai, tìm hộ mỗi nhóm trâu
Bài nầy cũng tương tự bài trên, chỉ thay đổi danh xưng các ẩn số phải tìm, và các số liệu để có đáp số khác với bài trên
Cách giải 1
Gọi
trâu đứng = x,
trâu nằm = y,
trâu gìa = z
viết phương trình:
x + y + z = 100
5x + 3y + 1/3 z = 100
Nhân phương trình dưới với 3 để loại bớt z :
15x + 9y + z = 300
-( x + y + z = 100)
————————————————–
14x + 8y = 200
hay
7x + 4y = 100 (1)
Suy ra x = (100 -4y)/7
Thay lần lược các giá trị y, tìm ra x
Đáp số
Trâu đứng Trâu nằm Trâu già
12 4 84
8 11 81
4 18 78
Cách giải 2
trâu đứng = TĐ
trâu nằm = TN
trâu gìa = TG
GIẢI
Nhóm 1:
6TG ăn 2 – –
Nhóm 2:
1TN ăn 3 bó cỏ
3TG ăn 1 – –
1TN + 3TG tương đương 4 bó cỏ (2)
và 0 mod 7 + 0 mod4 ≡ 100 bó cỏ
Giải phương trình tương đương nầy chúng ta có hai đáp số sau đây:
Ta có: (4 x 7) + (18 x 4) ≡ 100 bó cỏ
(8 x 7) + (11 x 4) ≡ 100 bó cỏ
(12 x 7) + (4 x 4) ≡ 100 bó cỏ
Ta thay thế lần lược modum thứ nhất 4, 8, 12 va modum thứ hai 18, 11, 4 của phương trình tương đương dưới đây
0mod(1TĐ +6TG) + 0mod(1TN+ 3TG) ≡ 100 Trâu
4(1TĐ +6TG) + 18(1TN+ 3TG) ≡ 100 Trâu
4 TĐ + 24 TG + 18 TN + 54 TG ≡ 100 Trâu
4 TĐ + 18 TN + 78 TG ≡ 100 Trâu
0mod(1TĐ +6TG) + 0mod(1TN+ 3TG) ≡ 100 Trâu
8(1TĐ +6TG) + 11(1TN+ 3TG) ≡ 100 Trâu
8 TĐ + 48 TG + 11 TN + 33 TG ≡ 100 Trâu
8 TĐ + 11 TN + 81 TG ≡ 100 Trâu
0mod(1TĐ +6TG) + 0mod(1TN+ 3TG) ≡ 100 Trâu
12(1TĐ +6TG) + 4(1TN+ 3TG) ≡ 100 Trâu
12 TĐ + 72 TG + 4 TN + 12 TG ≡ 100 Trâu
12 TĐ + 4 TN + 84 TG ≡ 100 Trâu
Đáp số
Trâu đứng Trâu nằm Trâu già
12 4 84
8 11 81
4 18 78
…..
Ngày nay những bài toán “trâu, cỏ” như trên rất hiếm, muốn làm sống lại môn “Toán Học Bình Dân trong Văn Minh Lúa Nước” của Tiền nhân ta không phải dễ, quý vị và các bạn còn có được những bài toán tương tự, trong ca dao tục ngử, mong được sự chia xẻ cuả quý vị
Trong khi chờ đợi có được các bài toán, để có thêm phần phong phú, tôi dựa theo các bài toán “trâu, cỏ”, và phương trình bậc 2 cỗ cuả người Babylon, “2x2 – y2 = 1” để viết lại những bài toán, những phương trình Diophantus có nhiều ẩn số, và số mũ n > 2, như các bài toán đi “cắm trại” và “trâu, bò” dưới đây, quý vị và các bạn làm thử, nếu có gì không ổn, mong được sự chỉ giáo của quý vị, xin đa tạ
1*) Ngày lễ Lao động, Công nhân đưa gia đình đi cắm trại, gồm có Thanh niên, Thanh nữ, cụ già và trẻ em, tổng số là 100 người, mang theo 100 hộp thức ăn.
Đến bửa ăn được phân chia như sau:
2 Thanh niên (TNi) ăn 3 Hộp
4 Thanh nữ (TNư) ăn 5 Hộp
5 Cụ già (Cg) ăn 6 Hộp
5 Trẻ em (E) ăn 3 Hộp
Hỏi có bao nhiêu, Thanh niên, Thanh nữ, Cụ già và Trẻ em
Đáp số 1 Đáp số 2 Đáp số 3 …
12 Thanh niên 8 Thanh niên 32 Thanh niên
8 Thanh nữ 32 Thanh nữ 8 Thanh nữ
40 Cụ già 20 Cụ già 10 Cụ già
40 Em 40 Em 50 Em
2*) Nông dân vận dụng 1001 Trâu, bò cày xới 1001 công đất
Trâu đực, 1 con cày 3 công đất
Trâu cái 3 con cày 4 công đất
Bò đực 2 con cày 5 công đất
Bò cái 4 con cày 3 công đất
Hỏi mỗi thứ có mấy con ?
Đáp số 1:
Trâu đực: 70 con Trâu cái: 105 con
Bò đực: 18 con Bò cái: 808 con
Đáp số 2:
Trâu đực: 56 con Trâu cái: 195 con
Bò đực: 6 con Bò cái: 744 con
Đáp số 3
Trâu đực: 84 con Trâu cái: 3 con
Bò đực: 34 con Bò cái: 880 con
Đáp số 4
Trâu đực: 70 con Trâu cái: 27 con
Bò đực: 44 con Bò cái: 860 con
…..
Thay vì làm toán, các anh chị lại làm thơ xướng họa thật tuyệt vời, không phải các anh chị bó tay, hay dở toán đâu, mà các anh chị chưa quen với loại toán nầy, khi đọc các bài thơ xướng họa phải nói rằng các anh chị rất giỏi toán mới đúng
Sau đây là bài xướng “HỌC TOÁN” quý vị thì rất rành thơ Đường luật, bảy chữ tám câu, cũng như cách xướng họa như thế nào rồi, còn các bạn trẻ, có bạn cũng chưa rành, nên tôi xin phép trình bày sơ qua luật xướng họa, nếu có sai xin quý vị chỉ giáo cho, để các bạn dể hiểu:
Bài xướng dưới đây các chữ vầng ở cuối câu
câu 1 là “nay”, câu 2 là “bày”, câu 4 là “quay”, câu 6 là “dày” và câu 8 “tay”
Học Toán
Tìm đâu ẩn số để trưng bày
Đạo hàm chẳng thuộc đường sao vẽ
Lượng giác chưa rành trục cứ quay
Cố hiểu tích phân trăm đoạn khó
Rán thông ma trận chục chương dày
Đổi qua hình học không gian đảo
Lỡ mộng tung hoành chịu trắng tay
03/03/2009
Bài họa các bạn cũng giữ nguyên các chữ trên và đúng vị trí từng câu
Câu 1 là “nay”, câu 2 là “bày”, câu 4 là “quay”, câu 6 là “dày” và câu 8 “tay”. Các bạn xem các bài họa dưới đây sẽ thấy, không những hay mà còn rất giỏi toán mới làm được những bài thơ như vậy
Mời quý vị và các bạn đọc các bài họa
Diện tích chu vi thiệt khó bày
Tam giác cân đều tâm thẳng cắt
Lục lăng lồi lõm góc bù quay
Kẽ đường tiệm cận xem hơi ngắn
Chia lớp vi phân sợ quá dày
Toạ độ véc tơ hàm tuyến tính
Thế vào cực trị đứng xoa tay
03/03/2009
Đại hình lượng giác hỏi ai bày
Khai căn số lẻ sin nào thấy
Đảo góc chia đôi cos chửa quay
Định lý Ta Go tìm quá mỏi
Phương trình Đề Các viết thêm dày
Liếc qua mặt phẳng bài sơ cấp
Thể tích không sành vội bó tay.
Tìm ra quỹ tích để khơi bày
Vòng tròn có sẵn không cần kiếm
Vị tự qua rồi khỏi thử quay
Nghịch đảo luôn tìm ba góc ẩn
Không gian chẳng kể mấy bao dày
Hoành ngang tung đứng chia trên dưới
Hàm số theo hoài cũng thiếu tay
04-03-09
Trừ chia nhân cộng thiệt ai bày
Tiên đề lớ ngớ câu xoay ngược
Đẳng thức mù mờ chữ múa quay
Vẽ hỏng dây cung tù hoá nhọn
Tìm sai mặt khối mỏng ra dày
Giản đồ thách đố giao hay hội
Tập rỗng tìm hoài mỏi cả tay
05/3/2009
Thi Toán
Sách toán không ngừng gạo hổm nay
Ghét o hóc búa cuộc thi bày !
Phương trình giải nghiệm nhừ phen xoá
Mẫu số quy đồng mỏi lượt quay
Bất biến chứng minh vừa gỡ tạp
Vô biên lý luận lại đeo dày
Hên hằng đẳng thức còn ghi nhớ
Đủ điểm mong người lượng nới tay
Vntvnd
(07/03/2009)
Cảm ơn TS Lưu Nguyễn Đạt và quý độc giả www.vietthuc.org đã quan tâm và theo giỏi Toán Học Bình Dân
Kính
Võ Văn Rân
One Comment
12hdem
Toán học và lô đề
Giỏi toán năm nào đến tận nay
Nhưng do khiêm tốn chẳng phơi bày
Số kia thành thục chơi quy nạp
Hình đó sở trường dụng phép quay
Lý thuyết thống kê môn rất giỏi
Thực hành xác suất vốn hơi dày
Ra đời vận toán làm kinh tế
Tính một con đề cũng bó tay.
(12hdem)