Toán Học

PHẦN ĐẦU

Đề tài Toán học đã nói đi nói lại nhiều lần, nhưng hầu hết chúng ta, ai cũng nghỉ rằng nó là những đề tài nghiên cứu của các nhà Khoa học, các GS chuyên khoa toán, và của các bạn trẻ HS, SV đang mài đũng quần trên ghế nhà trường, còn chúng ta đã giả từ sách vở, cuả thầy trả lại thầy, lo làm ăn, kiếm gạo nuôi con ăn học là đủ rồi.

Khi tuổi đời xế bóng, sắp về với Ông Bà, thì dành thời gian còn lại để vui chơi với con cháu, nói như thế cũng không sai, đọc chi những đề tài về toán nó khô khan nhức đầu, có cô bạn còn bảo với tôi rằng: cho em xin “ em sợ toán như sợ ma”, đó là lý do tôi muốn xin thưa cùng quý vị hôm  nay, để quý vị thấy Toán học và đời sống có sự liên quan mật thiết với nhau, muốn ăn nên làm ra, từ người buôn thúng bán bưng, đến các đại công ty xí nghiệp, ngân hàng các đại gia, các nghệ sĩ, nhà văn v.v. và v.v. … đều phải biết tính toán, ngay trong kinh Vệ đà bên Ấn độ cũng có toán, Quý vị và các bạn vào Khoahocnet.com GS Vô Biên viết rất hay.

Máy tính không thể thay thế bộ óc cuả con người, vì con người chế tạo ra nó để phục, do đó ta phải luyện tập cho não bộ làm việc nhanh chóng, chính xác, như tính nhẫm theo phương pháp Vedic Math India

VEDIC MATH

Theo kinh Vệ đà 2 và 3 ta có thể nhân rất nhanh các số sau đây

Phép nhân 1

93 x 98 bằng phương pháp

Ta tìm số bù cuả 93 và 98

100 – 93 = 07, 100 – 98 = 02

Lấy số 93 hoặc 98 trừ cho số chéo 02 hoặc 07

93 – 2 hoặc 98 – 7 = 91

Sau cùng lấy 2 số bù với 100 nhân với nhau

7 x 2 = 14

Ta sắp xếp lại như phép tính thì dể nhận ra

đáp số 9114

 

Phép nhân 2

9996 x 9997

Ta tìm số bù cuả 9996 và 9997

10000 – 9996 = 0004 và 10000 – 9997 = 0003

lấy số 9996 hoặc 9997 trừ chéo số bù 0003 hoặc 0004

9996 – 3 = 9993 hoặc 9997 – 4 cũng bằng 9993

Nhân 2 số bù cuả 10000

3 x 4 = 0012

Ta sắp xếp lại như phép tính thì dể nhận ra

đáp số 99930012

Phép nhân 3

9999992 x 9999995

Ta tìm số bù cuả 9999992 và 9999995

10000000 – 9999992 = 0000008 và 10000000 – 9999995 = 0000005

lấy số 9999992 hoặc 9999995 trừ chéo số bù 0000005 hoặc 0000008

9999992 – 0000005 = 9999987 hoặc 9999995 – 0000008 cũng bằng 9999987

Nhân 2 số bù cuả 10000000

8 x 5 = 0000040

Ta sắp xếp lại như phép tính thì dể nhận ra

đáp số 99999870000040

Phép nhân 4

102 x 105

Ta thấy

102 = 100 + 02 và 105 = 100 + 05

Ta cộng chéo

102 + 05 = 107 hay 105 + 02 = 107

Nhân  2 số dư cuả 100

2 x 5 = 10

sắp theo phép tính ta có

Đáp số 10710

 

Tương tự như phép tính dưới 

Thẳng và chéo (không dùng số bù)

Phép nhân 5

23 x 41

Hàng đơn vị ta nhân thẳng đứng

3 x 1 = 3

Hàng chục ta nhân chéo rồi cộng lại

(2 x 1) + (3 x 4) = 14

Ta viết 4 giữ lại một cho hang kế tiếp (hàng trăm)

Hàng  trăm nhân thẳng đứng cộng thêm 1

(2 x 4) + 1 = 9

Xếp thành phép nhân cho kết quả 943

 

Tương tự ta có phép nhân nhiều số hơn như

332 x 54

Mỗi dân tộc có nền văn minh riêng cuả họ, Ấn độ có nền văn minh Hindu, Trung đông có văn minh Babylon,  văn minh lúa nước cuả Dân tôc Việt cũng không kém

Giơi thiệu văn minh Ấn độ hay văn minh cuả các dân tộc khác mà không nói đến văn minh lúa nước, thì Tổ tiên ta sẽ quở trách con cháu vọng ngoại, không biết quý trọng Tiền nhân, Ông bà ta vậy …

VĂN MINH LUÁ NƯỚC

Nói đến văn minh lúa nước, là nói đến nông dân chân lấm tay bùn, con trâu đi trước cái cày theo sau, may quá còn lưu truyền được ít bài toán sau đây

Bài toán

100 trâu ăn 100 bó cỏ

Trâu đứng ăn 5

Trâu nằm ăn 3

5 trâu con ăn 1

Hỏi mỗi thứ mấy con

Qua ca dao tục ngữ ta nghe nói tới tiền:

CHỢ TẾT

”Một quan tiền tốt mang đi,

Nàng mua những gì mà tính chẳng ra

Thoạt tiên mua ba tiền gà,

Tiền rưỡi gạo nếp với ba đồng trầu

Trở lại mua sáu đồng cau,

Tiền rưỡi miếng thịt, giá rau mười đồng.

Có gì mà tính chẳng thông,

Tiền rưỡi gạo tẻ, sáu đồng trà tươi

Ba mươi đồng rượu, chàng ơi,

Ba mươi đồng mật, hai mươi đồng “vàng”.

Hai chén nước mắm rõ ràng,

Hai bảy mười bốn kẻo chàng hồ nghị

Hăm mốt đồng bột nấu chè,

Mười đồng nải chuối, chẵn thì Một Quan!                                 

(phong dao)

Hoặc như bài toán

Em đi chợ phiên
Cho gởi một tiền(*)
Mua cam cùng quýt
Món ít, món nhiều
Mua đủ một trăm
Cam ba đồng một
Quýt một đồng năm
Thanh yên tươi tốt
Năm đồng một trái…

(*) 1 tiền = 60 đồng

Nhân dịp giải luôn để các bạn trẻ so sánh kết quả

Giải

Gọi thanh yên = x
               Cam = y
              Quýt = z
viết phương trình
       x + y + z = 100
5x + 3y + z/5 = 60

Nhân 5 cho pt dưới để loại trừ z
Ta có

      12x + 7y = 100

Phương trình bậc 1 chứa 2 ẩn số (x và y)

Phương tây gọi phương trình nầy là Diophantine Equation, (nghiệm x,y phải nguyên)

Suy ra

x = (100 – 7y)/12 (x < 12)

thay thế lần lược các giá trị cuả y (y < 12)

ta có x = thanh yên =  6,         6×5 = 30

                  y = cam = 4,          4×3 = 12

                  z = quýt = 90, 90×0.20 = 18
_________________________________
                                 100 trái   với     60đ

1 quan là 600 đồng

1 tiền = 60 đồng

Không lẽ có mấy bài toán Trăm trâu ăn trăm bó cỏ, với em đi chợ phiên cứ nói đi nói lại hoài, do đó tôi dựa theo các bài toán trên, và mở rộng nhiều ẩn số như các bài toán dưới đây

*) Vịt gà trống, mái tính đủ 100 con

Cho ăn thực phẩm 100 lon sửa bò

5 con gà trống 6 lon

4 con gà mái 5 lon mới vừa

7 con vịt trống 8 lon

3 con vịt mái 2 lon mỗi ngày

Tính xem trống mái vịt gà mấy con ?                                 

Giải

Dùng modum để viết phương trình tương đương

Ta đặt

                               Vịt trống (đực) =      VT

                               Vịt mái             =      VM

                               Gà trống           =       GT

                               Gà mái              =       GM

Bài trăm trâu ăn trăm cỏ có 3 ẩn số, bài nầy có 4 ẩn phải tìm nên khó hơn

Phương trình được viết:

Mod(5GT+3VM)+Mod(4GM+3VM)+Mod(7VT+3VM) ≡ 100 con     (1)                                                                                                            

Mod(6L+2L)+Mod(5L+2L)+Mod(8L+2L) ≡ 100 Lon Thực phẩm

Mod(8L)+Mod(7L)+Mod(10L) ≡ 100 Lon Thực phẩm (2)

-Thay mod ở phương trình (1) cho 4 ta có

      4(5GT+3VM)+4(4GM+3VM)+4(7VT+3VM) ≡ 100 con

20GT+12VM  +  16GM+12VM  +  28VT+12VM ≡ 100 con

Hay                  20GT + 16GM + 28 VT + 36VM ≡ 100 con

Thay mod ở phương trình (2) với 4 để thử lại

                                              4(8L)+4(7L)+4(10L) ≡ 100 Lon

                                         32L   +   28L   +   40L   =   100Lon

-Thay thế mod của 2 nhóm (term) 1 và 2 thuộc vế trái của phương trình (1) bằng 6 và mod của nhóm 3 bằng 1 ta có

Mod(5GT+3VM)+Mod(4GM+3VM)+Mod(7VT+3VM) ≡ 100 con    (1)                                                                                                                 

                  6(5GT+3VM)+6(4GM+3VM)+(7VT+3VM) ≡ 100 con               

          30GT+18VM   +   24GM+18VM   +   7VT+3VM ≡ 100 con

                                       30GT + 24GM + 7VT + 39VM ≡ 100 con

Cũng thay thế mod của phương trình (2) tương tự để thử lại 

             Mod(8L)+Mod(7L)+Mod(10L) ≡ 100 Lon Thực phẩm (2)

                                6(8L)+6(7L)+(10L) ≡ 100 Lon

                                  48L + 42L + 10L   =   100Lon

-Thay thế mod của 2 nhóm (term) 1 và 2 thuộc vế trái của phương trình (1) bằng 2 và mod của nhóm 3 bằng 7 ta có

Mod(5GT+3VM)+Mod(4GM+3VM)+Mod(7VT+3VM) ≡ 100 con   (1)                                                                                                                  

                2(5GT+3VM)+2(4GM+3VM)+7(7VT+3VM) ≡ 100 con               

            10GT+6VM   +   8GM+6VM   +   49VT+21VM ≡ 100 con

                                      10GT + 8GM + 49VT + 33VM ≡ 100 con

Cũng thay thế mod của phương trình (2) tương tự để thử lại 

             Mod(8L)+Mod(7L)+Mod(10L) ≡ 100 Lon Thực phẩm (2)

                                2(8L)+2(7L)+7(10L) ≡ 100 Lon

                                     16L + 14L + 70L   =   100Lon

…

 Ta có ít nhất là 3 đáp số:

1)        20GT,    16GM,    28 VT,    36VM

2)        30GT,    24GM,       7VT,    39VM

3)        10GT,      8GM,     49VT,    33VM 

Mời các bạn trẻ  làm thử xem

*) Vịt, gà, ngan, ngỗng trăm con

Cho ăn thực phẩm trăm lon mỗi ngày

Ba ngan ăn đủ 7 lon

Hai con gà mái 3 lon mới vừa

Năm con vịt nhỏ  4 lon

Ngỗng ăn mỗi bửa gấp hai lần gà

Tính xem mỗi thứ mấy con ?

*) 100 người tổ chức Picnic, gồm có Trai, Gái, Cụ già và Em bé, mang theo 100 hộp đồ ăn. Đến giờ ăn được phân chia như sau:

3 Trai     ăn       8 hộp

4 Gái     ăn       9 hộp

6 Cụ     ăn       7 hộp

3 Em  bé  ăn      2 hộp

Hỏi có bao nhiêu, Thanh niên, Thiếu nữ, Cụ già,  và Em bé

ÔN CỐ TRI TÂN

Từ những bài toán quê mùa, xa xưa ở trên, lại giúp ta có vốn liếng để giải quyết những bài toán khó khăn hiện nay, năm 1993 nhà tỷ phú Andrew Beal đưa ra dạng phương trình:

                                A^x + B^y = C^z  

Thông thường phương trình có số mũ, từ đó ta tìm các ẩn số.

Với phương trình A^x + B^y = C^z   số mũ x, y, z nguyên lớn hơn 2, chứ chưa biết là bao nhiêu (?) do đó rất khó, cùng một lúc ta vừa tìm ẩn số và số mũ, chưa có phương pháp nào để giải, máy tính bất lực, các nhà Toán học cũng bó tay.

Từ những bài toán cổ xưa, giúp tôi viết phương pháp chung cho loại phương trình nầy:

                       

Nếu gặp phương trình nhiều ẩn số hơn A,B,C thì ta dung phương pháp mở rộng:

                       

Tỷ dụ

Tìm giá trị của A, B, C nguyên chia đúng cho một số nguyên tố và số mũ x, y, z nguyên lớn hơn 2                   

                                A^x + B^y = C^z  

Giải

Áp dụng công thức

                       

Để giải phương trình

                                 A^x + B^y = C^z  

Kết qủa sau, khi có dịp sẽ trình bày cụ thể hơn

 59604644287109376⁶ + 244140624¹³ = 1220703120¹²

Thử lại

vế trái của phương trình

59604644287109376⁶ + 244140624¹³

                         =   1.0947643714439035188147209479977e+109

vế phải của phương trình

  1220703120¹²   =   1.0947643714439035188147209479977e+109

Đáp số:

A = 59604644287109376,    x = 6

B = 244140624                     y = 13

C = 1220703120                   z = 12

THAY LỜI KẾT

Toán học tuy khô khan, nhưng lại là chất xúc tác giúp cho trí óc minh mẫn, sáng suốt, có cuộc sống tươi vui, lành mạnh, biết đúng sai, khó bị kẻ xấu lừa gạt, biết cội nguồn dân tộc, mong rằng các bạn trẻ đừng đánh mất cơ hội, xem nhẹ môn toán, chúc các bạn sẽ thành công lớn.

Võ Văn Rân

www.vietthuc.org