DẪN NHẬP
Qua bài TOÁN HỌC vừa rồi đăng trên khoahocnet.com và vietthuc.org, các anh chị, bạn bè thời còn cắp sách đến trường, nhắc lại những kỷ niện vui buồn tuổi học trò, nhắc nhớ lúc làm toán chạy, (làm tính nhanh) vui quá, tôi trực nhớ đây chính là phương pháp cụ thể giúp cho học sinh giỏi toán, và xem toán là môn học hữu ích vui vẻ, không kém những môn học khác … Do đó tôi không bỏ lở cơ hội viết tiếp Phần 2, để lâu lại quên mất, Toán học phần 2, không ngoài mục đích giới thiệu thêm về Toán học trong kinh Vệ đà Ấn độ, và toán học bình dân cuả nền Văn minh Lúa nước
CÁC PHÉP TÍNH NHANH
Ông bà ta rất giỏi về tính nhẫm, không biết cách tính có trùng hợp với người Ấn độ không ?
Phép nhân 1
Nhân môt số với 11
tỷ dụ
36 x 11 = ?
bước 1: tách rời 2 số 3 và 6
3 – 6
bước 2: tìm số giữa 3 và 6 bằng cách 3+6 = 9
bước 3: sắp xếp theo thứ tự “3 9 6” chính là đáp số cuả phép nhân 1
36 x 11 = 396
Các bạn thử làm vài ba phép tính khác
42 x 11 = ?
72 x 11 = ?
63 x 11 = ?
Phép nhân 2
Nhân một số với 11
462 x 11 = ?
Bước 1: tách rới số đầu và số cuối cuả số nhân 462 thành
4 – – 2
Bước 2: tìm 2 số giữa 4 và 2
số kế tiếp trước* 2 (số hàng chục): 6+2 = 8
số kế tiếp trước 8 (số hàng trăm): 6+4 = 10 ta viết số 0 và giử 1
Bước 3: số 1 giử lại được cộng vào số cuối cùng là 4+1 = 5, nếu không có giử, ta đã hoàn tất ở bước 2 rồi
Đáp số phép nhân 2
462 x 11 = 5082
*)tính từ trái sang phải
Các bạn thử làm vài ba phép tính khác
421 x 11 = ?
372 x 11 = ?
253 x 11 = ?
Phép nhân 3:
Nhân một số với 111
35 4 x 111 = ?
Bước 1: tách rời số đầu và số cuối cuả số nhân
3 …4
Bước 2: các số giữa 3 và 4 được lần lược tính như sau
số chục (trước số 4): 5+4 = 9
số trăm (trước số 9): 3+5+4 = 12 ta viết 2 giử 1
số ngàn (trước số 2): 3+5 = 8 cộng thêm 1 (số giử) bằng 9
bước 3: sắp xếp các số theo thứ tự ta có kết quả 39294
354 x 111 = 39294
Các bạn thử làm vài ba phép tính khác
435 x 111 = ?
242 x 111 = ?
623 x 111 = ?
Phép nhân 4
Nhân một số với 111
2147 x 111
Bước 1: tách rời số đầu và số cuối cuả số nhân
2 …7
Bước 2: các số giữa 2 và 7 được lần lược tính như sau
số chục (trước số 7): 4+7 = 11 viết 1 giử 1
số trăm (trước số 1): 1+4+7 = 12, cộng 1 (số giử) bằng 13, viết 3 giử 1
số ngàn (trước số 3): 2+1+4 = 7 cộng thêm 1 (số giử) bằng 8
số vạn (trước số 8): 2+1 = 3
bước 3: sắp xếp các số theo thứ tự ta có kết quả 238317
2147 x 111 = 238317
Các bạn thử làm vài ba phép tính khác
4235 x 111 = ?
3412 x 111 = ?
7223 x 111 = ?
Phép nhân 5
Nhân một số với 1111
3245 x 1111
Bước 1: tách rời số đầu và số cuối cuả số nhân
3 …5
Bước 2: các số giữa 3 và 5 được lần lược tính như sau
số chục (trước số 5): 4+5 = 9
số trăm (trước số 9): 2+4+5 = 11, viết 1 giử 1
số ngàn (trước số 1): 3+2+4+5 = 14 cộng thêm 1 (số giử) bằng 15, viết 5 giử 1
số vạn (trước số 5): 3+2+4 = 9 cộng thêm 1 (số giử) bằng 10, viết 0 giử 1
số ức (trước số 0): 3+2 = 5 cộng thêm 1 bằng 6
bước 3: sắp xếp các số theo thứ tự ta có kết quả 3605195
3245 x 1111 = 3605195
Các bạn thử làm vài ba phép tính khác
7231 x 1111 = ?
2413 x 1111 = ?
5224 x 1111 = ?
TOÁN HỌC BÌNH DÂN hay VĂN MINH LÚA NƯỚC
Nói đến văn minh luá nước, Cộng đồng Quốc tế nghỉ ngay đến Tiền nhân chúng ta, thời kỳ văn minh xuất hiện rất sớm ở vùng Đông Nam Á, có thể nói hàng chục ngàn năm trước Công nguyên, khi nông nghiệp phát triển kéo theo, các ngành nghề khác cũng phát triển theo, như khoa học kỷ thuật, phát sinh những dụng cụ cày cấy, thâu hạch, chứa đựng, đo lường sản lượng thâu hoạch, diện tích canh tác, vẻ bản đồ ruộng đất, xây dựng nhà ở, xây dựng hạ tầng cơ sở, làng xã, thông tin, liên lạc, trao đổi, mua bán v.v. và v. v. … Toán học là một yếu tố không thể thiếu trong thời kỳ văn minh lúa nước, để cùng đóng góp, xây dựng sự phát triển vững chắc, cho xã hội thời bấy giờ.
Các nhà khảo cổ đã tìm thấy bài toán cổ xưa nhất trong bản cỏ chỉ Rhind như bài toán về Tài sản của một gia đình Nông dân
Tài sản
Nhà 7
Mèo 49
Chuột 343
Ngọn lúa mì 2401
Số đo đất 16807
_______________________
19607
Ta có nhận định đây là một tập hợp của 7 lũy thừa 1, 2, 3, 4 & 5 (7^1, 7^2, 7^3, 7^4, 7^5) và con số dưới 19607 là tổng của các số trên
Cứ dựa vào bài toán trên ta thấy “nhà, mèo, lúa mì và số đo…. đất”
Như vậy bài toán nầy có từ thời kỳ con người đã định cư, biết làm nhà ở, biết chăn nuôi, biết đo đạt, biết trồng cây lúa mì, …
Tiền nhân ta khi định cư, lúc trà dư tưởi hậu cũng mang toán ra đố nhau cho vui như bài toán:
100 trâu ăn 100 bó cỏ
…
Về sau nầy khi cộng đồng nhân loại biết xử dụng đồng tiền để mua bán, các Cụ có những bài toán, cũng dự theo bài “100 trâu ăn 100 bó cỏ” như sau:
Trai lở lứa 5 đứa 1 đồng
Gái chưa chồng 5 đồng một đứa
Con nít nằm ngữa 2 đứa 5 đồng
Có 100 đồng muốn mua 100 đứa
Hỏi bao nhiêu Trai, Gái và con nít?
Giải
Nếu gọi x là trai, y là gái và z là con nít
Ta có
x + y +z = 100
Theo đề toán giá trị mua từng đứa là
1/5 x + 5y + 2/5z = 100
Bài toán có 3 ẩn số (x,y,z) mà ta chỉ viết được 2 phương trình, thiếu 1 phương trình nên rất khó
Từ 2 phương trình trên ta loại bỏ bớt một ẩn số
Thì còn lại phương trình bậc nhất sau đây
24x + 23z = 2000
Phương trình bậc nhất chứa 2 ẩn số, đây chính là Diophantine Equation, trên 2000 năm nay các nhà toán học vẫn chưa tìm ra phương pháp giải. vậy mà từ ngàn xưa ông bà ta đã thông thạo loại toán nầy
Trong lúc chờ đợi các nhà toán học tìm ra phương pháp chung cho Diophantine Equation, tôi dùng phương pháp Bình dân để giải
Gọi T là con trai
G là con gái
N con nít
Đ là đòng
Ta chia bài toán ra làm 2 nhóm
Nhóm 1
5T giá 1Đ
1G giá 5Đ
cộng 2 vế cuả nhóm 1
(5T+1G) tương đương 6Đ
Nhóm 2
(5T giá 1Đ)3 ta có 15T giá 3Đ
(2N giá 5Đ)4 8N giá 20Đ
Cộng 2 vế ta có (15T+8N) tương đương 23Đ
Từ 2 nhóm trên ta có được phương trình Tương đương
Mod(5T+1G) +Mod(15T+8G) 100
9(5T+1G) = 45T + 9G tương đương 54Đ
2(15T+8N) = 30T + 16N tương đương 46Đ
Suy ra (75T+ 9G + 16 N) tương đương 100Đ
Đáp số
Trai lở lứa 75 đứa giá 15Đ
Gái chưa chồng 9 đứa – 45Đ
Con nít nằm ngữa 16 đứa – 40Đ
——————————————————
Cộng lại 100 đứa 100Đ
Các anh chị tìm xem còn có những đáp số khác không ?
Thông thường loại toán nầy có nhiều đáp số
Một bài toán khác có nhiều ẩn số hơn
NGÀY MÙA
Ngày mùa lúa chín đầy đồng
Thanh niên, thiếu nữ cụ ông, cụ bà
Cùng nhau gặt lúa tháng ba
Trăm người, sáu đội tính ra trăm thùng
Đội nhiều đội ít gặt chung
Mấy người mỗi đội mấy thùng tìm xem
Cho biết
Đội 1 (Đ1) cứ 3 người gặt được 5 thùng
Đội 2 (Đ2) – 5 – – – 7 –
Đội 3 (Đ3) – 4 – – – 5 –
Đội 4 (Đ4) – 2 – – – 3 –
Đội 5 (Đ5) – 7 – – – 5 –
Đội 6 (Đ6) – 5 – – – 6 –
GIẢI
Bài toán tuy ngắn gọn, nhưng ta phải tìm nhiều ẩn số.
Số người cuả mỗi đội, và số thùng lúa mỗi đội gặt được
Số người và số thùng lúa bằng 100
Theo đề
Đội 1 (Đ1) cứ 3 người gặt được 5 thùng
Đội 2 (Đ2) – 5 – – – 7 –
Đội 3 (Đ3) – 4 – – – 5 –
Đội 4 (Đ4) – 2 – – – 3 –
Đội 5 (Đ5) – 7 – – – 5 –
Đội 6 (Đ6) – 5 – – – 6 –
Ta có phương trình
Đ1 + Đ2 + Đ3 + Đ4 + Đ5 + Đ6 = 100
Và phương trình
(5/3) Đ1+(7/5) Đ2+(5/4) Đ3+(3/2) Đ4+(5/7) Đ5+(6/5) Đ6 = 100
Bài toán có 6 ẩn số mà ta viết được 2 phương trình, như vậy còn thiếu 4 phương trình ta mới giải được, bài toán nầy khó hơn bài trên, nói như vậy không phải ta bó tay, ngồi chờ các nhà toán học
Ta áp dụng phương pháp Bình dân như trên để giải
Chia bài toán ra làm 5 nhóm
Tiếp theo
Dùng Modum form để viết phương trình tương đương
Mod(6Đ1+14Đ5)+Mod(5Đ2+7Đ5)+Mod(8Đ3+7Đ5)+Mod(4Đ4+7Đ5) + mod(20Đ6 + 14Đ7) ≡ 100 (1)
Mod(10T+10T)+Mod(7T+5T)+Mod(10T+5T)+Mod(6T+5T)+mod(24T+10T) ≡ 100
Mod(20T) + mod(12T) + mod( 15T) + mod(11T) + mod(34T) ≡ 100 (2)
Giải phương trình (1) và (2) ta có kết quả
Đ1 có 3 người và Đ1 gặt được 5 thùng
Đ2 15 – Đ2 21 –
Đ3 8 – Đ3 10 –
Đ4 8 – Đ4 12 –
Đ5 56 – Đ5 40 –
Đ6 10 – Đ6 12 –
—————————————————–
100 người 100 thùng
LÀM TOÁN
Mời các anh chị và các bạn trẻ làm toán cho vui, có nhiều cách giải, chúng ta phải làm sống lại nền văn minh lúa nước, nói đền VĂN MINH là nói đến tính toán rồi, gặp bài toán không cho biết trước dử kiện, thì chúng ta tự đưa ra, miễn sao đáp ứng được yêu cầu cuả bài toán.
Trong kinh Vệ đà tất cả là 9, con số cuối cùng là 10 chỉ có vậy thôi mà người Ấn độ đã suy diễn ra cách tính toán rất hay
TRAI GÁI
Trai lở lứa 5 đứa 2 đồng
Gái chưa chồng 5 đồng 2 đứa
Con nít nằm ngữa 2 đứa 3 đồng
Có 100 đồng muốn mua 100 đứa
Hỏi bao nhiêu Trai, Gái và con nít?
GẶT LÚA
Ngày mùa lúa chín đầy đồng
Thanh niên, thiếu nữ cụ ông, cụ bà
Cùng nhau gặt lúa gần xa
Trăm người, năm đội tính ra trăm thùng
Đội nhiều đội ít nói chung
Mấy người mỗi đội mấy thùng đủ trăm
Cho biết
Đội 1 (Đ1) cứ 3 người gặt được 5 thùng
Đội 2 (Đ2) – 6 – – – 7 –
Đội 3 (Đ3) – 4 – – – 5 –
Đội 4 (Đ4) – 3 – – – 4 –
Đội 5 (Đ5) – 7 – – – 6 –
Quà Trung Thu
Trung thu chuẩn bị nghìn quà
Thiếu nhi cả xóm, cũng là nghìn em
Tuổi từ mười bảy, mười lăm
Mười em được lãnh năm phần lai rai
Tuổi từ mười bốn, mười hai
Bảy em được lãnh mười hai phần quà
Tuổi từ mười một đến mười
Mười ba em lãnh chỉ ba phần quà
Em nào chín tuổi đến năm
Năm em lãnh đủ mười lăm phần liền
Còn bao nhiêu tuổi đương nhiên
Trung thu phát đủ mỗi em mỗi phần
Tính xem mỗi hạng có bao người ?
Đáp số* :
Tuổi từ 17 – 15 280 em 140 quà
Tuổi từ 14 – 12 196 em 336 quà
Tuổi từ 11 – 10 364 em 84 quà
Tuổi từ 9 – 5 140 em 420 quà
Thiếu nhi còn lại 20 em 20 quà
—————————————————
Tổng cộng 1000 em và 1000 quà
Làm toán đã khó, nhưng viết ra đề toán lại càng khó hơn, viết thế nào cho bài toán có nghiệm, chứ viết bài toán vô nghiệm, thì không ý nghĩa gì cả, do đó thỉnh thoảng tôi phải cho đáp số, để các bạn trẻ tin tưởng bài toán có nghiệm, đôi khi các bạn giải ra đáp số khác, miễn sao đúng yêu cầu cuả bài toán, vì bài toán có nhiều đáp số, tôi sẽ trình bày phương pháp viết đề toán sau
CỔ KIM HÒA ĐIỆU
Mời các anh chị thông thạo các ngôn ngữ: Anh, Pháp, Đức, Nhựt, Tây Ban Nha, Nga, Tàu v.v…chuyễn ngữ những bài toán trên, để giới thiệu đến các bạn trẻ trên thế giới cùng làm toán cho vui, chuyễn dịch nầy rất cần thiết, để tiếp tay với amazon.com, quảng cáo toán học bình dân cuả mình, mà hiện nay tôi đã nhờ LS về bản quyền, không cho nhà in xuất bản nửa.
Võ Văn Rân
