Toán Tính – Tính Toán

Đừng nói đến chuyện cao siêu trừu tượng của Toán Học ngày nay. Chuyện mà chỉ dành cho những nhà chuyên môn, còn trong đại chúng dân gian, toán là tính, là đo, là đếm. Ở trong đời, làm cái gì cũng phải suy nghĩ thấu đáo. Vì Toán Học là một môn lý luận rất chặt chẽ, rất vững chắc, nên đại chúng đã thếm chữ toán sau chữ tính chăng ? Mua một cái gì cũng phải tính toán, làm cái gì cũng phải tính toán…, chứ không làm một cách hời hợt được. Dùng Toán (sơ đẳng : cọng, trừ, nhân, chia) để Tính và khi Tính thì dựa vào cái « logic » của Toán cho ăn chắc.

Mà đã «ăn chắc» chưa ?

Hôm nay, tôi muốn nói đến một bài Toán vui, nhưng rất « hóc búa », mà tôi đã đọc năm 1957, lúc tôi còn là một học sinh lớp 3^e hay 2de (lớp Đệ Tứ, Đệ Tam, lớp 9, lớp 10), trên một trang báo lúc bấy giờ, tại Huế, mà tôi quên tựa đề, tên tác giả, và tên tờ báo. Câu chuyện của bài Toán trên trang báo đó, có đề cập tới một nhân vật lịch sử, nhưng vì là chuyên bịa đặt, nên tôi không nêu tên của nhân vật lịch sử đó. Tôi xin gọi ông ta là ông X.

Bài viết nầy dành cho đại chúng, nghĩa là không dùng những kỷ thuật Toán Học để chứng minh. Và chứng minh làm gì, trong khi những người có học Toán, hay những người còn nhớ đến căn bản của Toán, chương trình Trung Học, thì chỉ thấy qua hình vẽ, là chứng minh được ngay. Như vậy để tránh cho một số độc giả đã cho rằng « Toán là Hắc Qủy » (bête noire / pet hate), khỏi phải « ghét » Toán thêm.

Cũng vì là chuyện vui về Toán, nên trước khi nói đến bài Toán « hóc búa » trình trên, tôi xin kể một chuyện Tính Toán vui.

Có ba anh học sinh đến thuê phòng ở một khách sạn. Giá tiền phòng là 30 đồng, và mỗi anh học sinh đưa ra mỗi người là 10 đồng cho anh tiếp tân. Anh tiếp tân nhận 30 đồng, rồi đem lại cho ông chủ khách sạn. Ông chủ khách sạn thấy 3 người khách là 3 học sinh, nên chỉ lấy 25 đồng thay cho 30 đồng, và đưa lại cho anh tiếp tân 5 đồng, nói là trả lại cho 3 anh học sinh.

Anh tiếp tân quá phân vân, không biết làm sao mà chia 5 đồng một cách đồng đều cho 3 người, nên mới nghĩ là « thủ » tạm 2 đồng, còn 3 đồng thì đưa lại cho 3 anh học sinh, mỗi người một đồng.

Như thế, mỗi anh học sinh trả 9 đồng. Ba lần 9 đồng là 27 đồng, và anh tiếp tân « thủ » tạm 2 đồng, vị chi là 29 đồng, nhưng lúc ban đầu 3 anh học sinh đã đua ra tất cả là 30 đồng. Vậy mất đi đâu 1 đồng ? (theo Fantaisies et Paradoxes Mathématiques. E. P. Northrop. Dunod Paris 1956). Xin xem phần góp ý ở cuối bài.

Bài Toán « hóc búa »

Đây là một bài Toán Hình Học (géométrie / geometry). Tôi viết ra để độc giả biết cho vui.

Chuyện nầy, tuy là một chuyện bịa đặt, nhưng có dính liếu đến một nhân vật lịch sử. Những người cùng lứa tuổi với tôi hay lớn hơn tôi, chắc có lẽ đã đọc qua một bài viết, mà tôi không nhớ tên tác giả cùng tựa đề, trên một trang báo, vào khoảng năm 1957, ở Miền Nam, dưới thời Đệ Nhất Cọng (Cộng) Hòa. Cũng vì để tránh sự hiểu lầm, và cũng là chuyện bịa đặt, nên tôi không nêu tên của nhân vật lịch đã được đề cập tới trong bài viết đó, ra đây. Tôi tạm gọi ông ta là ông X.

Theo tôi, thì tác giả của bài viết đó, có ý đề cao ông X, và cũng vì thời thế chính trị lúc bấy giờ, dưới nền Đệ Nhất Cọng Hòa, nên đã có kết luận khắt khe với ông ta (để tránh tiếng là có ý đề cao ông X chăng ?). Chuyên đại khái, như sau :

Ông X, một nhân vật lịch sử cọng (cộng) sản, có trách nhiệm lớn trong Nhà Nước ở Miền Bắc, trước năm 1975, và cho cả nuớc sau năm 1975. Lúc ông ta còn « thư sinh, mặt trắng », có tên là « Chút » (?) hay « Chức » (?) (lâu ngày quá nên tôi quên mất), đang học Toán ở Đại Học Hànội, vì tìm kế sinh nhai, ông ta làm « gia sư » (précepteur / home tutor) cho một cô gái con một ông Huyện…, và sau đó yêu cô ta và đã cưới cô ta làm vợ…

Gia đình hai vợ chồng trẻ nghèo lắm. Anh chồng rất giỏi Toán, cả ngày cắm đầu và sách Toán, còn cô vợ thì mê « Quỷ Thần », và hay mời Quỷ về để hỏi chuyện tương lai… Một hôm anh chồng đề nghị với cô vợ là lừa « Satan » (quỷ Xa-Tăng), với cái « Định Lý Fermat », hầu có thể ra làm « cán bộ chóp bu » đề làm giàu (kết luận khắt khe, và còn khắt khe hơn nữa, của tác giả bái viết năm 1957, như đã trình trên). Nếu Satan chứng minh được « Định Lý Fermat », thì hai vợ chồng tình nguyện đem linh hồn mình làm tôi mọi cho Satan, còn nếu Satan không chứng minh được, thì phải để cho anh chồng ra làm « quan to, chức lớn », để làm giàu… (theo tác giả của bài báo năm 1957, thì Satan không giải được « Định Lý Fermat »).

Chuyên của tôi không liên quan gì đến « Định Lý Fermat » hay « cán bộ chóp bu, quan to, chức lớn » của ông X. Chuyện là tác giả của bài viết năm 1957, có lẽ quá đề cao ông X, nên có nói, lúc ông ta, mới 9 tuổi đã giải được bài Toán : «Định điểm giữa của một đoạn thẳng [AB] bằng compas».

Để cho rõ ràng, chúng ta biết, trong Toán Học thông thường, sự dựng hình (construction géométrique / geometric construction), phải dùng đến 2 dụng cụ là Compas và Thước. Ở đây, bài Tóan trên chỉ dùng 1 dụng cụ mà thôi, là Compas. Cái « hóc búa » là chỗ đó.

Tôi tự nghĩ, mình đã 16 tuổi, cũng đã học « đến » Đệ Tứ, Đệ Tam, vậy nên đem « giấy, bút » ra làm « chơi ».

Nhưng thật ra, không phải chuyện « chơi ». Tôi phải mất hai ba năm, mới tìm ra, nghĩa là sau khi đã có Tú-Tài II, và cũng là tìm ra một cách tình cờ ! (Vẽ ra và chứng minh hình vẽ đó là đúng).

Hai ba năm, không có nghĩa là mỗi ngày, tôi lo làm bài Toán đó trong 8 tiếng, và một tuần phải làm 7 ngày trên 7. Nhưng khi nào rảnh rỗi, tôi đều nghĩ đến bài Toán đó. Đôi khi tôi đã để cả 2 hay 3 giờ liên tiếp để tìm bài Toán đó, là chuyên thường.

Tôi là một người « thông minh » bình thường, như hàng triệu người khác. Chắc chắn có nhiều người tìm ra lời giải sớm hơn tôi nhiều. Tôi có học Toán thật, vỉ tôi « yêu Toán » và vì tôi cần cù, chứ không « thông minh » gì cả. Sau nầy, tôi có nói chuyện bài Toán đó với vài người bạn rất thân, cũng học Toán, cũng dạy Toán từ Trung Học đến Đại Học, và có ý đưa bài giải ra, vì tôi chỉ muốn trình bày bài Toán đó với họ. Giữa chúng tôi với nhau chỉ có chia sẻ, học hỏi với nhau, chứ không bao giờ có ý thách đố nhau. Nhưng cái « tật xấu » của những người học Toán, là không bao giờ chịu nhận bài giải, trước khi đem « giấy, bút » ra làm thử, nếu nhận thấy mình đủ sức làm được (bài Toán chỉ cần trình độ Trung Học). Hiện giờ, tôi cũng chưa được, một người nào trong những người bạn rất thân đó, cho tôi lời giải. Có lẽ họ không như tôi, bị bài Toán đó « ám ảnh » bên mình.

Khi đã tìm ra, nhìn lại bài Toán thì thấy « quá dễ », và tự trách mình, sao ban đầu cứ chạy loanh quanh, để mất định hướng, để mất thì giờ. Nhưng cái Vui của Toán là ở chỗ đó.

Ở cuối bài viết nầy, tôi có cho cách vẽ để định Điểm Giữa của một đoạn thẳng [AB] bằng compas, nhưng như đã trình trên, tôi không đưa ra chi tiết cách chứng minh, vì nhìn hình vẽ là có thể chứng minh được. Có chăng, tôi chỉ gợi ý cách chứng minh mà thôi.

Sau nầy, tôi mới biết là từ xưa Lorenzo Mascheroni (1750-1800) đã chủ trương môn « Hình Học bằng Compas » (Geometria del compasso, 1797, và dịch ra tiếng Pháp Géométrie du compas, theo lời đề nghị của Napoléon Bonaparte, năm 1798).

Môn Toán Học nầy không nằm trong chương trình Trung Học của Pháp (và của Việt Nam Cộng Hòa, lúc bấy giờ). Lúc tôi còn học Seconde (Đệ Tam, lớp 10), tôi có làm một bài toán trong « Lebossé-Hémery » (Géométrie, classe de Seconde), để định tâm điểm của một vòng tròn bằng compas, nhưng để đạt được chuyện đó, bài toán đã hướng dẫn học sinh phải chứng minh 2 câu hỏi trước, rồi mới đến câu hỏi chót nầy.

Lúc học Đại Học, tôi có nghe nói đến Mascheroni là một nhà Toán Học của thế kỷ XVIII, nhưng không nghe nói chuyện dạy môn Hình Học nầy, có lẽ vì không phải chuyên khoa của tôi.

Vì là chuyện Tính Toán vui, tôi xin kể một chuyện, cũng phỏng theo Fantaisies et Paradoxes Mathématiques.

Hột Xoàn với phép Cọng (Cộng)

Một cô rất mê hột xoàn. Cái gì cô ta cũng có thể bỏ qua, nhưng khi đã thấy hột xoàn thì cô ta mất hết tự chủ. Cô làm việc rất vất vả và cố dành dụm để mua cho được một hột xoàn. Một hôm cô vào một tiệm bán Kim Cương. Trời đất ơi ! Cô choáng cả mặt mày: toàn là Kim Cương và Kim Cương với muôn vàn tia sáng. Ông chủ ra đón tiếp ân cần :

–  Xin chào Bà Chị, dạ thưa Bà Chị cần gì ?

–  Chào ông chủ, tôi muốn mua một hột xoàn.

Ông chủ mau mắn, mở tủ lấy một hột kim cương với những tia sáng màu xanh rất đọc đáo, rồi đến gần cô ta thưa :

–  Xin Bà Chị xem giúp chúng tôi.

Cô ta nắm hột xoàn trong tay mà run bần bật. Ngắm đi ngắm lại và hỏi :

–  Hột nầy đẹp thật ! Vậy giá là bao nhiêu.

Ông chủ thưa :

–  Bà Chị thật có mắt. Hột nầy là một trong những hột ưng ý nhất của chúng tôi. Xin Bà Chị cho 10 000 đồng.

Hột xoàn thì đẹp thật, quý thật, nhưng khi nghe đến 10 000 thì cô ta sựng lại. Ông chủ biết ý, đến mở tủ lấy mộ hột kim cương nhỏ hơn, rồi đi lại gần cô ta thưa :

–  Xin Bà Chị xem qua. Màu sắc cũng chẳng thua gì hột kia, chỉ có nhỏ hơn một tý. Vì Bà Chị mở hàng, nên chúng tôi ép bụng, xin Bà Chị 5 000 đồng có được không ?

Cô ta nhận hột xoàn, xem qua, xem lại rất ưng ý và thuận trả 5 000.

Tối đó, thì khỏi phài nói, cô ta ôm ấp cái hột xoàn hơn cả « người yêu của mối tình đầu », nhưng cái hột xoàn với màu xanh độc đáo mà cô ta thấy lúc sáng, cứ ám ảnh cô ta. Thật là ruột gan tơ rối trăm bề. Cô bèn quyết định sang mai đi đến đổi cái hột xoàn đó mới được.

Sáng dậy, cô ta đến tiệm bán Kim Cương. Ông chủ vội vàng ra tiếp :

–  Xin chào Bà Chị. Thế nào cái hột kim cương hôm qua của chúng tôi có làm Bà Chị vừa ý không ?

–  Thích thì thích thật đấy, nhưng tôi muốn cái hột xoàn có màu xanh độc đáo kia.

–  Dạ, tôi biết mà, Bà Chị là người sành điệu, chỉ có cái hột kim cương đó mới lọt mắt Bà Chị thôi. Rồi ông chủ chạy đi mở tủ, lấy hột xoàn mang lại cho cô ta.

Cô ta cầm lấy ngắm nghía và trao cái hột xoàn cũ, mua hôm qua, cho ông chủ. Cô ta như người bị thôi miên, không một lời cám ơn xã giao, không một lời chào, cô ta cầm cái hột xoàn mới, rồi bước nhanh ra cửa tiệm. Ông chủ vôi chạy theo, ôn tồn thưa :

–  Thưa Bà Chị. Thưa Bà Chị…

Cô ta quay lại, ngạc nhiên, nhìn ông chủ. Ông chủ từ tốn thưa :

–  Thưa Bà Chị, cái hột kim cương đó giá 10 000…

Cô ta trợn xòe mắt hỏi :

–  Vậy hôm qua tôi trả cho ông chủ mấy đồng ?

–  Dạ thưa, Bà Chị cho chúng tôi 5 000…

–  Vậy hôm nay, tôi đã trao cho ông chủ một hột xoàn trị giá bao nhiêu ?

–  Dạ thưa Bà Chị, 5 000…

–  Vậy tất cả không phải là 10 000 hay sao ?

Ông chủ …

Tựa bài là Toán Tính, Tính Toán, nên nếu không đề cập đến bài Le Quart d’heure de bon temps của thi hào Nicolas Boileau (1636 – 1711), thì có thiếu sót đối với văn nhân, thi sĩ :

L’homme, dont la vie entière
Est de quatre-vingt-seize ans,
Dort le tiers de sa carrière,
C’est juste trente-deux ans.
….
….
Reste encore un an pour faire
Ce qu’oiseaux font au printemps.

Par jour l’homme a donc sur terre
Un quart d’heure de bon temps.

Tạm dịch cho vui :

Một kỹ sư mới ra trường đi kiếm việc. Sau cuộc « phỏng vấn », ông chủ hỏi :

– Thế anh định đòi lương bao nhiêu ?

– Xin Ông Chủ trả cho 45 000 đồng một năm được chăng ?

Ông chủ trố mắt nhìn anh kỷ sư :

–    Làm gì mà anh đòi cao thế. Đây nầy : Có 365 ngày trong một năm. Anh ngủ 8 tiếng mỗi ngày, vị chi 122 ngày (8 x 365 = 2 920 giờ. 2 920 : 24 = 121, 67. Cho đi 122 ngày), còn lại 243 ngày. Anh nghỉ 8 tiếng mỗi ngày, vị chi 122 ngày nữa. Anh nghỉ 52 ngày Chủ Nhật, vậy còn lại 121 ngày. Anh không làm việc chiều thứ Bảy, vị chi 26 ngày. Còn lại 43 ngày. Mỗi ngày hãng để cho anh 1 tiếng để dùng cơm trưa, vị chi 15 ngày nữa. Còn lại 28 ngày. Anh có hai tuần nghỉ hàng năm, vậy còn lại 14 ngày. Rồi nghỉ ngày Quốc Khánh, ngày lễ Lao Động, ngày lễ Các Thánh, ngày lễ Giáng Sinh. Vậy anh chỉ làm việc có 10 ngày trong một năm, mà anh đòi đến 45 000 đồng à ?

TS. Nguyễn Vĩnh-Tráng
109 102 011 nvt*ttl*

Gợi ý :

1)      27 +2 = 29 là không có lý. Tiền đưa ra chỉ có 27 đồng. Vậy cọng (cộng) 2 đồng với 27 đồng để làm gì ? Trong 27 đồng đó, ông chủ khách sạn lấy 25 đồng, anh tiếp tân « thủ » 2 đồng, vị chi 27 đồng tất cả (25 + 2 = 27) (số tiền tất cả đã đưa ra).

2)      Ký hiệu. Vòng tròn tâm B, bán kính [AB] được ký hiệu : vòng tròn (B, [AB]).

Cho 2 điểm A, B. Vẽ vòng tròn (B, [AB]). Các điểm C, D, E được định bới các vòng tròn (A, [AB]), (C, [AB]), (D, [AB]) với vòng tròn (B, [AB]). Vẽ vòng tròn (E, [AE]). Vẽ vòng tròn (A, [AB]). Hai vòng tròn nầy cắt nhau tại hai điểm F, G.

Hai vòng tròn (F, [AB]), (G, [AB]) cắt nhau tại điểm M. M là Điểm Giữa của đoạn thẳng [AB]. Tôi chứng minh bằng cách dùng sự đồng dạng của hai tam giác AFM và AEF (triangles semblables / Similar triangles).

3)      Cô nầy có đáng được mề đay Fields không ?

4)      Những ngày, giờ ông chủ tính trên đã lập đi lập lại nhiều lần, nên mới ra cớ sự như thế.