DẪN NHẬP
Ở thời buổi kinh tế toàn cầu, không muốn bị bỏ lùi đằng sau hàng chục năm, hay thậm chí hàng trăm năm, thì ta phải mở cửa trí tuệ, mở tầm nhìn ra thế giới bên ngoài, để xem họ đi đến đâu, ta đang ở vị tri nào trên than bậc Quốc tế, lý do nào ta lại thua v.v…, có vậy ta mới mong tiến bộ được, chứ đóng cửa, rồi xem mình là đỉnh cao của trí tuệ, là đưa xã hội đến hố sâu, vựt thẳm
Mặc dù nhà nước muốn đổi mới nền giáo dục, để bắt kịp đà tiến bộ cuả thế giới hiện nay, nhưng Bộ giáo dục loai hoai như gà mắc đẻ, cả chục năm vẫn chưa đi đế đâu cả, rồi nhà nước đưa ra kế hoạch chiêu hiền đãi sĩ, việc làm đúng, nhưng cả chục năm cũng không mấy ai hưởng ứng, tại sao vậy? nói theo kiểu Toán học: “chiêu hiền đãi sĩ” mới là “ắt có” điều kiện thứ 2 “và đủ” thì chưa có, muốn đủ phải làm sao? Xin thưa là phải có “Tự do” thì mọi việc sẽ trôi chảy, không vướn mắt, lúc đó Quốc tế giúp đở, huấn luyện tuổi trẻ trong nước, người Việt nam ở Hải ngoại sẽ về nước, xây dựng Quê hương, không cần phải mời gọi gì cả, những người tài không về giúp nước sẽ bị chê cười là mất gốc.
Chúng ta phải nhìn nhận mới có 35 năm mà VN từ nất than “hòn ngọc Viễn đông” nay thua những nước trong vùng đến hàng trăm năm, nếu tiếp tục mãi cái đà nầy thì VN sẽ lùi đến hàng ngàn năm, lúc đó con cháu sẽ làm lễ “Hận Thăng Long ngàn năm nô lệ …”? thật là đau buồn.
Tóm lại đây là câu trả lời ngắn gọn cho anh bạn tôi, hỏi “chiêu hiền đãi sĩ có đúng không?” đúng chứ, nhưng chưa đủ …. rồi đâu cũng vào đấy, tiền mất tật mang, bây giờ tôi xin trở lại phần toán
CÁC NHÀ TOÁN HỌC CẦN GIẢI ĐÁP
Lang thang trên mạng “Newsgroups: sci-math” tình cờ đọc được những email cuả các nhà Toán học trao đổi với nhau về phương trình Diophantus rất giá trị, đây là vấn đề minh bạch, chứ không phải, rình mò xem lắng email thuộc đời tư của người khác, khi các nhà toán học cần hỏi vấn đề gì đó, họ gởi email lên các mạng thuộc khoa học, toán, ai có khả năng thì giải đáp giúp họ, còn thân phận bọt bèo của mình, không phải là thành viên cuả nhóm, nên chỉ dựa cột mà nghe họ trao đổi qua lại để học hỏi, nếu thấy hay thí mình vổ tay khen ngợi, còn ngược lại mình không có ý kiến gì…
Mời các bạn đọc qua các email của ba nhà Toán học thuộc ba Quốc gia khác nhau: Korea, Italia và Anh Quốc, là thành viên nhóm “Newsgroups: sci.math” . Email tuy đã lâu (Date: 13 Oct 1999 15:55:55 -0400), nhưng đề tài thảo luận là phương trình Đa Ẩn Số, thuộc dang DIOPHANTUS EQUATION còn nóng hổi sau đây:
“Diophantus equation x^3 + y^3 = z^a ?”
Nhà Toán học người Korea xin tạm dấu tên trong nhóm “Newsgroups: sci.math” email lên mạng tóm lược:
“Would someone can help me about current status of the following Diophantus equation ?
Is there any proof of the non-existence of solution for a Diophantus equation x^3 + y^3 = z^p or
x^3 + y^p = z^3, when x, y, and z are all positive integers and p is greater than 3 ?”
Nhà Toán học người Ý có email trả lời và góp ý như sau:
“Ciao, l’equazione di Diofanto di cui sopra ammette soluzioni:
X^3+Y^3 = Z^p
18^3+9^3 = 9^4
1458^3+729^3 = 243^4
201684^3+67228^3 = 9604^4
X^3+Y^p = Z^3
7^3 + 7^4 = 14^3
26^3 + 26^4 = 78^3
63^3+ 63^4 = 252^3
Solo solo alcune soluzioni delle due equazioni, moltissime alter esistono anche con p > 4
Ciao”
Ở đây chúng ta thấy Nhà Toán học người Ý cho 3 kết quả cuả phương trình Diophantus
với số mũ 3, 3, 4
X^3+Y^3 = Z^4
18^3+9^3 = 9^4
1458^3+729^3 = 243^4
201684^3+67228^3 = 9604^4
và 3 kết quả cuả phương trình Diophantus với số mũ 3, 4, 3
X^3+Y^4 = Z^3
7^3 + 7^4 = 14^3
26^3 + 26^4 = 78^3
63^3+ 63^4 = 252^3
Nhưng không cho biết bằng phương pháp nào đã tìm ra các kết quả trên. Ngược lại ông muốn có kết quả của phương trình Diophantus với p > 4, như sau
X^3+Y^3 = Z^5
X^3+Y^3 = Z^6
X^3+Y^3 = Z^7
…
X^3+Y^5 = Z^3
X^3+Y^6 = Z^3
X^3+Y^7 = Z^3
…
Các bạn có thể tìm hộ không? Chắc là Nhà Toán học Ý đã có nhiều kết quả, song chúng ta thử tìm kết quả, nếu có kèm theo Phương pháp để các bạn trẻ cùng tìm cho vui
Trở lại kết quả Nhà Toán học người Ý rất hay và đúng, nhưng Nhà Toán học Korea chưa đồng ý, lỗi là do Nhà Toán học Korea đã thiếu một điều kiện quan trọng là GCD(x,y,z) = 1 nên ông đã email lai như sau
“Oh ! I missed one conditional statement.
Is there any proof of the non-existence of solution for a Diophantus equation
x^3 + y^3 = z^p or x^3 + y^p = z^3, when x, y, and x are all positive integers,
p is greater than 3, and gcd(x,y,z) = 1 ?
Thanks”.
Câu hỏi lần thứ hai của Nhà Toán học Korea có liên quan đến dự đoán của nhà Tỷ Phú Andrew Beal ở Dallas, Texas USA, được gọi là Beal’s Conjecture có liên quan tới Fermat’s Last Theorem. mà tôi đã nói trước đây Bạn nào muốn có $100,000 USD do nhà Tỷ Phú Andrew Beal tặng, xài chơi
“Beal’s conjecture is a conjecture in number theory proposed by the Texas billionaire and mathematical amateur Andrew Beal.
While investigating generalizations of Fermat’s last theorem in 1993, Andrew Beal formulated the following conjecture:
If
Ax + By = Cz
where A, B, C, x, y and z are positive integers with x,y,z > 2 then A, B, and C must have a common prime factor”
Như chúng ta biết Fermat’s Last Theorem đã được chứng minh bởi GS Andrew Wiles năm 1995, hoặc bằng cách nầy, hoặc bằng cách khác, như vậy Beal’s Conjecture cũng đã đúng, có nghĩa là:
“x^3 + y^3 = z^p or x^3 + y^p = z^3, when x, y, and x are all positive integers, p is greater than 3, and gcd(x,y,z) = 1” vô nghiệm
Phương trình x^3 + y^3 = z^p or x^3 + y^p = z^3 chỉ có nghiệm khi p ≤ 2.
Nhà Toán học người Anh tham gia ý kiến như sau
If p is divisible by 3 then there are obviously no non-trivial integer solutions.
Otherwise p must be = q mod 3, where q = 1 or 2, and dividing each term by (p-q)/3 we can consider rational solutions to X^3 + Y^3 = Z^q.
For q = 2 we can assume X + Y, X^2 – X.Y + Y^2 = a, a.b^2 resp,
so (completing the square in the second) we see that X, Y are roots
of T^2 – a.T + a.(a – b^2)/3 = 0. Then letting T = a.c, and assuming a != 0, this quadratic becomes linear in a.
That gives a complete rational solution of X^3 + Y^3 = Z^2, which should hopefully help with your integer problem.
Cheers
conjectured that there are no solutions to the equation
x^3+y^3=z^n
in relatively prime integers x,y,z except for n=2 or less.
PHẦN ĐÓNG GÓP CỦA TÔI
Kính quý vị và các bạn trẻ, phần đóng góp của tôi đến các bạn trẻ, sẽ đi sâu xa hơn, chứ không bị giới hạn ở mức độ thấp.
Phương pháp giải phương Trình DIOPHANTUS có dạng
x3 + y3 = zp
Nhà Toán học Ý chỉ cho ra kết quả, chứ không cho ta phương pháp nào tìm ra kết quả, để các bạn trẻ cùng nhau tham gia đóng góp cho vui, dĩ nhiên là có rất nhiều phương pháp, như dùng Computer, phương pháp tính nhẫm …
Tôi xin trình bày phương pháp bình dân để tìm các giá trị của x, y, z, nếu quý vị và các bạn trẻ có phương pháp nào hay hơn, xin được học hỏi
Ví dụ : Tìm giá trị cuả phương trình Diophantus sau đây với p = 4
x3 + y3 = z4
Chúng ta viết lại phương trình trên thành
x3 + y3 = z · z3
Đến đây gợi lại cho ta nhớ lại dạng “A Generalized Fermat-Wiles Equation”
xn + yn = c · zn
ta đặt c = z
x3 + y3 = c · z3
công việc tiếp theo ta tìm giá trị của c
Áp dụng phương pháp bình dân, xin phép quý vị trình bày cách rất dể nhớ như sau:
gia đình rân & sen “r & s” và con cái “c”
ζ(s) = rn + sn = c
r = n√(c – sn) ζ(c) = 1
n à ∞
x = r∙z
y = s∙z
Với phương pháp bình dân nầy quý vị và các bạn chỉ mất một vài phút sẽ tìm ra một đáp số cuả phương trình Diophantus có dạng:
xn + yn = zp (p > n; n à ∞)
Nếu các bạn không thích dùng công thức bình dân cuả tôi, mà muốn có công thức khoa học, chánh quy thì xử dụng công thức của E. Landau and S. Ramanujan như các nhà toán học đã dùng dưới đây, thời gian để tìm ra đáp số cuả phương trình Diophantus xn + yn = zp (p > n; n à ∞) không biết trước, 1giờ, 1ngày, 1 tuần, … có khi tìm được c rồi, không biết cách tìm ra x, y, z ra sao ? công thức lại khó nhớ
“E. Landau and S. Ramanujan independently proved that:
where K is given by:
Product taken over all primes congruent to 3 modulo 4
Landau further proved that
where C is the constant
”
C-sequence for n = 3
For the sake of economy, let us list only the cube-free members of the c-sequence C corresponding to n = 3. The c-sequence is homogeneous in the sense that c is in C if and only if all cube-multiples of c are in C.
2, 6, 7, 9, 12, 13, 15, 17, 19, 20, 22, 26, 28, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 42, 43, 49, 50, 51, 53, 58, 61, 62, 63, 65, 67, 68, 69, 70, 71, 75, 78, 79, 84, 85, 86, 87, 89, 90, 91, 92, 94, 97, 98, 103, 105, 106, 107, 110, 114, 115, 117, 123, 124, 126, 127, 130, 132, 133, 134, 139, 140, 141, 142, 143, 151, 153, 156, 157, 159, 161, 163, 164, 166, 169, 170, 171, 172, 177, 178, 179, 180, 182, 183, 186, 187, 193, 195, 197, 198, 201, 202, 203, 205, 206, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 217, 218, 219, 222, 223, 228, 229, 231, 233, 236, 238, 241, 244, 246, 247, 249, 251, 254, 258, 259, 265, 267, 269, 271, 273, 274, 275, 277, 278, 279, 282, 283, 284, 285, 286, 287, 289, 294, 295, 301, 303, 305, 306, 308, 309, 310, 313, 314, 316, 319, 321, 322, 323, 325, 330, 331, 333, 335, 337, 339, 341, 342, 345, 346, 348, 349, 355, 356, 357, 358, 359, 363, 366, 367, 370, 372, 373, 377, 379, 380, 382, 385, 386, 387, 388, 390, 391, 393, 394, 395, 396, 397, 399, 402, 403, 407, 409, 411, 413, 414, 418, 420, 421, 422, 425, 427, 428, 429, 430, 431, 433, 435, 436, 438, 439, 441, 444, 445, 446, 447, 449, 450, 452, 453, 454, 457, 458, 460, 462, 463, 465, 466, 467, 468, 469, 474, 477, 481, 483, 484, 485, 490, 493, 494, 495, 497, 498, 499, …”
Đặt c = z rồi áp dụng công thức ta có
ζ(s) = r3 + s3 = c
Cho bất kỳ giá trị nào của r & s (e.g. r = 9, s = 12)
93 + 123 = 2457 = z
Ta có phương trình x3 + y3 = 2457· z3
Suy ra gía trị của x, y
x = r·z = 9 x 2457 = 22113
y = s·z = 12 x 2457 = 29484
thử lại:
221133 + 294843 = 24574 = 36443545848801
Có vô số giá trị của r & s nên ta sẽ có vô số giá trị x, y, z nghiệm đúng Phương trình trên
Đáp số:
x = 22113
y = 29484
z = 2457
Tăng số mũ
Nếu phương trình chỉ có vậy thôi, ta sẽ đâm chán vì có gì khó đâu ! Do đó chúng ta có thể tăng số mũ của phương trình
“ x3 + y3 = z4” lên như sau
x4 + y4 = z5
x5 + y5 = z6
x6 + y6 = z7
…..
Ta giải pt
x9 + y9 = z10
Tương tự ta đặt c = z Phương trình Diophantus trên được viết lại
x9 + y9 = z · z9 hay x9 + y9 = c· z9
rồi áp dụng công thức tìm c trên ta có
rn + sn = c
Cho bất kỳ giá trị nào của r & s (e.g. r = 13, s =8)
139 + 88 = 10738717101 = z
Ta có phương trình x9 + y9 = 10738717101· z9
x = r·z = 13 x 10738717101 = 139603322313
y = s·z = 8 x 10738717101 = 85909736808
Thử lại ta có:
1396033223139 + 859097368089 = 1073871710110 =
2.039501436128298430481917114472e+100
…
Đáp số:
x = 139603322313y = 85909736808z = 10738717101
Phương trình Diophantus
x3 + y3 = zp với p > 4
Các bạn tìm thử giá trị x, y, z của phương trình
Cũng phát xuất từ phương pháp bình dân, tôi đã tìm phương pháp khác sẽ giúp các bạn chỉ mất vài ba phút sẽ tìm ra 1 đáp số của các phương trình Diophantus có dạng sau, nhưng ưu tiên cho các bạn tự tìm trước
x3 + y3 = z5
x3 + y3 = z7
….
Ta có phương trình Diophantus
x3 + y3 = z5
Cũng áp dụng phương pháp trên
ζ(s) = rn + sn = c
r = n√(c – sn)
ζ(c) = 1
n à ∞
x = r∙z
y = s∙z
ta tìm được
658903113190003 + 2223798007016253 = 4078380255
= 1.1283363386927051992955049987847e+43
Và nhiều đáp số khác
Đáp số:
x = 65890311319000
y = 222379800701625
z = 407838025
…..
Tương tự ta có phương trình Diophantus
x3 + y3 = z7
Cũng áp dụng phương pháp trên
ζ(s) = rn + sn = c
r = n√(c – sn)
ζ(c) = 1
…
Ta có
9845788843 + 61536180253 = 156897
= 233973591228631078678949276729
Và nhiều kết quả khác
Đáp số:
x = 984578884
y = 6153618025
z = 15689
…..
Phương Trình DIOPHANTUS có dạng
x3 + yp = z3
X^3+Y^p = Z^3
7^3 + 7^4 = 14^3
26^3 + 26^4 = 78^3
63^3+ 63^4 = 252^3
ví dụ
Tìm giá trị của x, y, z với p = 4 của phương trình Diophantus
x3 + y4 = z3
Ta áp dụng công thức sau đây
ζ(s) = αn + βn = 1
b = n
ζ(s) = 1 & ζ(1) 0
0 < α < 1
Sẽ tìm ra nhiều kết quả
394023 + 35824 = 608943
= 225799776996984
…
Đáp số:
x = 39402
y = 3582
z = 60894
Tăng số mũ
Chúng ta có thể tăng số mũ của phương trình “ x3 + y4 = z3” lên như sau
x4 + y5 = z4
x5 + y6 = z5
x6 + y7 = z6
…..
Ví dụ
Tìm giá trị của x, y, z cuả phương trình Diophantus sau đây
x5 + y6 = z5
Cũng áp dụng công thức thứ 2 ở trên ta có nhiều kết quả
84045 + 21016 = 105055 = 127932322356595315625
Đáp số:
x = 8404
y = 2101
z = 10505
Phương trình x3 + yp = z3 với p > 4
Ví dụ
Tìm giá trị của x, y, z cuả phương trình Diophantus sau đây
x3 + y5 = z3
áp dụng công thức thứ 2 ở trên ta có nhiều kết quả
946634883 + 998565 = 22008814723
= 10776503234602751339266048
Đáp số:
x = 8404
y = 2101
z = 10505
…..
Hoặc có số mũ lớn hơn như
Ví dụ
Tìm giá trị của x, y, z cuả phương trình Diophantus sau đây
x11 + y17 = z11
áp dụng công thức thứ 2 ở trên ta có nhiều kết quả
1073695154299059811 + 3065965980117 = 1610542731448589711
= 1.8910141286587321621901688988339e+178
Đáp số:
x = 10736951542990598y = 30659659801z = 16105427314485897
……
Rồi ta tiến xa hơn 3 ẩn số như
Phương trình Diophantus với 8 ẩn số
Có dạng a4 + b4 + c4 + d4 + e4 + f4 + g4 = k.h4
Chúng ta cũng giải được, phần nầy có dịp tôi sẽ trình bày sau
PHẦN KẾT
Qua sự trao đổi cuả các nhà Toán học thuộc “Newsgroups: sci.math”, chúng ta mới thấy Diophantine Equation, là vấn đề nan giải hiện nay, mà nói đến Diophantine Equation thì nó vô cùng rộng lớn, do đó tôi đã bỏ hàng chục năm tìm ra nhiều phương pháp để giúp các bạn trẻ có thể vượt qua những khó khăn đó. Trong ít nhất 5 cuốn sách bằng tiếng Việt, tôi đã viết xong là món quà cho Quê hương, khi VN đổi mới. Quý vị và các bạn trẻ biết, sách viết về chuyện phù thủy mua vui cho các em, các bạn trẻ mà tác giả kiếm được bạc tỷ. Còn sách khoa học toán, chả nhẻ không giúp được cho càc bạn học sinh, sinh viên học hỏi, và dịch ra nhiều thứ tiếng để trao đổi với cộng đồng Toán học trên thế giới? tiền kiếm được sẽ là món quà giúp các bạn trẻ nghèo học giỏi, Các bạn sợ Quốc tế không thèm đọc loại sách toán cuả mình chăng? Họ rất cần, như cuốn sách đầu tay, tôi mới giới thiệu sơ qua Diophantine Equation bìa mỏng 124 trang, gía bán hơn $11 USD, nhưng trên thị trường Quốc tế có nơi bán tới $123 USD nói có sách mách có chứng chứ không phải nói thêm,
1. Stock Image Fermat’s Last Theorem (ISBN: 0759654735 / 0-7596-5473-5)
Van Vo, Ran
Bookseller: Bearly Read Books (Sudbury, MA, U.S.A.)
Bookseller Rating: Quantity Available: 1Price: US$ 20.00
Convert Currency
Shipping: US$ 6.00
Within U.S.A. Destination, Rates & Speeds
2. Stock Image Fermat’s Last Theorem (ISBN: 0759654735 / 0-7596-5473-5)
Ran Van Vo
Bookseller: Papa Media (New York, NY, U.S.A.)
Bookseller Rating: Quantity Available: 1
One Comment
Tình sầu vạn ý
Bác viết sách không phải là bác đúng. Ở Hoa Kỳ, ai muốn viết sách, in sách, bán sách chả được. Bác thử đưa chứng minh của bác lên sci.math xem người ta bác bỏ như thế nào. Ngay tại đây đã thấy bác sai rồi
” x3 + y3 = z4
Chúng ta viết lại phương trình trên thành
x3 + y3 = z • z3 ”
z là ẩn số,c là hằng số nên không thể đặt c = z được.
“Áp dụng phương pháp bình dân, xin phép quý vị trình bày cách rất dể nhớ như sau:
gia đình rân & sen “r & s” và con cái “c”
ζ(s) = rn + sn = c
r = n√(c – sn) ζ(c) = 1
n à ∞
x = r.z
y = s.z ”
Ngoài ra ζ(s) = rn + sn với nghĩa ζ là một hàm của biến s. Thế thì ζ(c) = rn + cn làm sao mà ζ(c) = 1 ? . Nếu vậy thì rn + cn = 1 sao ?!!! Nếu ζ(s) = rn + sn thì bác phải viết ζ(r,s) = rn + sn với nghĩa ζ là một hàm của 2 biến r và s.
Bác nên tỉnh lại đi. Bác ngộ nhận bao nhiêu năm rồi đó. Nhiều người đọc bài bác viết, chán quá họ chẳng buồn comment.